Mostre que os limites das funções dadas, quando
, não existe.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para mostrar que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite varia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando:
. Queremos ver o que acontece com
quando
e
ficam bem perto de 0.
Passo 3
Vamos tentar aproximar
seguindo o caminho onde
. Substituindo
por 0 na função, temos:
Então, ao longo do caminho
, o limite de
é 1.
Passo 4
Agora, vamos abordar a aproximação de
seguindo o caminho onde
. Substituindo
por
na função, obtemos:
Aqui, a expressão
não está definida e tende a
ou
, dependendo do valor de
. Isso indica que o limite ao longo desse caminho não �� um número real finito.
Passo 5
Como vimos, seguindo o caminho
, o limite é 1, mas seguindo o caminho
, o limite não é definido (tende ao infinito). Isso significa que o limite da função
depende do caminho que escolhemos para nos aproximarmos de
.
Resposta
O limite não existe.
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;
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se
se
Mostre que o conjunto
e
é aberto em
.