Mostre que os limites das funções dadas, quando , não existe.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para mostrar que o limite da função quando se aproxima de não existe. Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite varia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando: . Queremos ver o que acontece com quando e ficam bem perto de 0.

Passo 3

Vamos tentar aproximar seguindo o caminho onde . Substituindo por 0 na função, temos:
Então, ao longo do caminho , o limite de é 1.

Passo 4

Agora, vamos abordar a aproximação de seguindo o caminho onde . Substituindo por na função, obtemos:
Aqui, a expressão não está definida e tende a ou , dependendo do valor de . Isso indica que o limite ao longo desse caminho não �� um número real finito.

Passo 5

Como vimos, seguindo o caminho , o limite é 1, mas seguindo o caminho , o limite não é definido (tende ao infinito). Isso significa que o limite da função depende do caminho que escolhemos para nos aproximarmos de .

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Resolva a EDO dada por separação de variável
Considere a equação diferencial
Mostre que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial ;
Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados.
se
se
Mostre que o conjunto e é aberto em .