Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial separável que a gente tem aqui:
Neste exercício, vamos trabalhar com equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis e de maneira que cada uma fique de um lado da equação. Para resolver, vamos precisar fazer algumas manipulações algébricas e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão à direita da equação. Sabemos que é o mesmo que . Então, substituindo isso na equação, temos:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Isso significa deixar todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro lado:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por para facilitar a integração.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e a do lado direito em relação a :

Passo 5

Vamos resolver as integrais uma por uma.
Para a integral do lado esquerdo, vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Simplificando:
Para a integral do lado direito:
Podemos usar a substituição , :

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Para deixar a resposta mais organizada, podemos multiplicar ambos os lados por :
Onde ainda representa uma constante qualquer.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Determine para os valores de abaixo.
(b) .
Determine para os valores de abaixo.
(a) .
Considere a equação diferencial ,
Resolva a equação diferencial e esboce os gráficos das soluções.