Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial separável que a gente tem aqui:
Neste exercício, vamos trabalhar com equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis
e
de maneira que cada uma fique de um lado da equação. Para resolver, vamos precisar fazer algumas manipulações algébricas e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão à direita da equação. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, substituindo isso na equação, temos:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Isso significa deixar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro lado:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para facilitar a integração.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e a do lado direito em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver as integrais uma por uma.
Para a integral do lado esquerdo, vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
-
→ -
→
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Simplificando:
Para a integral do lado direito:
Podemos usar a substituição ,
:
Passo 6
Agora, juntamos os resultados das integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para deixar a resposta mais organizada, podemos multiplicar ambos os lados por
:
Onde
ainda representa uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Determine
para os valores de
abaixo.
(b) .
(b)
Determine
para os valores de
abaixo.
(a) .
(a)
Considere a equação diferencial
,
Resolva a equação diferencial e esboce os gráficos das soluções.
Resolva a equação diferencial e esboce os gráficos das soluções.