Considere a equação diferencial dada abaixo: 2 x^2 y''(x) + (x - x^2) y'(x) - y(x) = 0, x in (0, infinito) (d) (1.0 ponto) Obtenha a solução y1(x) correspondente à maior raiz da equação indicial.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Vamos resolver essa equação usando a série de Frobenius, que é adequada para equações com pontos singulares. Precisaremos encontrar a equação indicial, determinar suas raízes e, em seguida, obter a solução correspondente à maior raiz.

Passo 2

Assumimos uma solução na forma de série de potências de :
onde é a raiz da equação indicial que precisamos encontrar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificamos os termos e igualamos os coeficientes a zero para encontrar a equação indicial.

Passo 5

Focamos nos termos de menor potência de para obter a equação indicial:
A maior raiz é .

Resposta

A solução correspondente à maior raiz da equação indicial é .

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