Considere a equação diferencial
(a) (1.0 ponto) Verifique que
é ponto ordinário da equação. Encontre a relação de recorrência da solução em série de potências de
, em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O que a gente precisa fazer aqui é verificar se
é um ponto ordinário dessa equação e encontrar a relação de recorrência para uma solução em série de potências ao redor de
. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos ordinários e como trabalhar com séries de potências em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa um ponto ordinário. Em uma equação diferencial, um ponto
é chamado de ponto ordinário se os coeficientes das derivadas não anulam nesse ponto. No nosso caso, queremos ver se
é ordinário.
O coeficiente de
é
. Avaliando em
:
Como o coeficiente de
não é zero em
, isso confirma que
é realmente um ponto ordinário da equação.
Passo 3
Agora, vamos buscar uma solução em série de potências em torno de
. Assumimos que a solução
pode ser escrita como:
Vamos calcular as derivadas
e
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Vamos distribuir os termos:
- Para
:
Simplificando os expoentes:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, vamos reescrever todos os termos com o mesmo expoente de
:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
E o termo subtraído:
Passo 6
Agora, juntamos tudo:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Vamos igualar os coeficientes:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para encontrar a relação de recorrência:
Simplificando os termos:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A relação de recorrência para a solução em série de potências é:
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial dada abaixo:
(d) (1.0 ponto) Obtenha a solução
correspondente à maior raiz da equação indicial.
Verdadeiro (V) ou Falso (F)
d)( )Se uma função f(x, y) tem derivadas parciais contínuas em (a, b) então f é diferenciável em (a, b)
d)( )Se uma função f(x, y) tem derivadas parciais contínuas em (a, b) então f é diferenciável em (a, b)
Considere a equação diferencial dada abaixo:
© (1.0 ponto) Determine a relação de recorrência;
Considere a equação diferencial dada abaixo:
(a) (0.6 ponto) Mostre que
é um ponto singular regular da equação diferencial;