Considere a equação diferencial (a) (1.0 ponto) Verifique que é ponto ordinário da equação. Encontre a relação de recorrência da solução em série de potências de , em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O que a gente precisa fazer aqui é verificar se é um ponto ordinário dessa equação e encontrar a relação de recorrência para uma solução em série de potências ao redor de . Para isso, vamos precisar entender o que são pontos ordinários e como trabalhar com séries de potências em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa um ponto ordinário. Em uma equação diferencial, um ponto é chamado de ponto ordinário se os coeficientes das derivadas não anulam nesse ponto. No nosso caso, queremos ver se é ordinário.
O coeficiente de é . Avaliando em :
Como o coeficiente de não é zero em , isso confirma que é realmente um ponto ordinário da equação.

Passo 3

Agora, vamos buscar uma solução em série de potências em torno de . Assumimos que a solução pode ser escrita como:
Vamos calcular as derivadas e :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:
Vamos distribuir os termos:
  1. Para :
Simplificando os expoentes:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, vamos reescrever todos os termos com o mesmo expoente de :
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
E o termo subtraído:

Passo 6

Agora, juntamos tudo:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Vamos igualar os coeficientes:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para encontrar a relação de recorrência:
Simplificando os termos:
Finalmente, isolando :

Resposta

A relação de recorrência para a solução em série de potências é:

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Considere a equação diferencial dada abaixo: (d) (1.0 ponto) Obtenha a solução correspondente à maior raiz da equação indicial.
Verdadeiro (V) ou Falso (F)
d)( )Se uma função f(x, y) tem derivadas parciais contínuas em (a, b) então f é diferenciável em (a, b)
Considere a equação diferencial dada abaixo: © (1.0 ponto) Determine a relação de recorrência;
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