Considere a equação diferencial dada abaixo:
© (1.0 ponto) Determine a relação de recorrência;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
Nosso objetivo aqui é encontrar a relação de recorrência para essa equação. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias e envolve usar séries de potências para resolver o problema. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a solução em uma série de potências e igualar os coeficientes de potências semelhantes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Agora, precisamos calcular as derivadas dessa série:
Passo 3
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Vamos ajustar os índices para combinar as potências de
:
Para a segunda parte do segundo termo:
- Terceiro termo:
Já está na forma
Passo 4
Agora, juntamos todos os termos:
Para facilitar, ajustamos os limites das somas para começarem todas em
:
Mas para simplificar, notamos que ao igualar os coeficientes de cada potência de
a zero, obtemos a relação de recorrência.
Passo 5
Igualando os coeficientes de
a zero, obtemos:
Simplificando:
Isolando
:
Simplificando mais:
Resposta
A relação de recorrência é:
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial
(a) (1.0 ponto) Verifique que
é ponto ordinário da equação. Encontre a relação de recorrência da solução em série de potências de
, em torno de
.
Considere a equação diferencial dada abaixo:
(d) (1.0 ponto) Obtenha a solução
correspondente à maior raiz da equação indicial.
Considere a equação diferencial dada abaixo:
(a) (0.6 ponto) Mostre que
é um ponto singular regular da equação diferencial;
Considere a equação diferencial
(b) (1.0 ponto) Encontre a solução geral da equação
em torno de
, explicitando as duas soluções linearmente independentes (bastam os quatro primeiros termos de cada solução).