Considere a equação diferencial dada abaixo: © (1.0 ponto) Determine a relação de recorrência;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
Nosso objetivo aqui é encontrar a relação de recorrência para essa equação. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias e envolve usar séries de potências para resolver o problema. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a solução em uma série de potências e igualar os coeficientes de potências semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Agora, precisamos calcular as derivadas dessa série:

Passo 3

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
Vamos ajustar os índices para combinar as potências de :
Para a segunda parte do segundo termo:
  1. Terceiro termo:
    Já está na forma

Passo 4

Agora, juntamos todos os termos:
Para facilitar, ajustamos os limites das somas para começarem todas em :
Mas para simplificar, notamos que ao igualar os coeficientes de cada potência de a zero, obtemos a relação de recorrência.

Passo 5

Igualando os coeficientes de a zero, obtemos:
Simplificando:
Isolando :
Simplificando mais:

Resposta

A relação de recorrência é:

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