Considere a equação diferencial (b) (1.0 ponto) Encontre a solução geral da equação em torno de , explicitando as duas soluções linearmente independentes (bastam os quatro primeiros termos de cada solução).

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Estamos procurando a solução geral dessa equação em torno de . Para isso, precisamos encontrar duas soluções linearmente independentes, apresentando os quatro primeiros termos de cada uma. Vamos usar a Solução por Séries de Potências, que é adequada quando procuramos soluções próximas a um ponto específico, neste caso, .

Passo 2

Assumimos que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Distribuímos os termos e alinhamos os índices das somas para que todas as séries tenham a mesma potência de :
Vamos reindexar as somas para que todas comecem com :

Passo 6

Igualamos os coeficientes de cada potência de a zero para satisfazer a equação. Isso nos dá a seguinte relação de recorrência:
Resolvendo para :

Passo 7

Para encontrar duas soluções linearmente independentes, assumimos diferentes valores para os termos iniciais e :
  1. Primeira solução ( ): ,
    • Calculamos os coeficientes usando a relação de recorrência:
    • Assim, a primeira solução é:
  2. Segunda solução ( ): ,
    • Calculamos os coeficientes:
    • Assim, a segunda solução é:

Resposta

As duas soluções linearmente independentes da equação diferencial em torno de , com os quatro primeiros termos, são:

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