Considere a equação diferencial
(b) (1.0 ponto) Encontre a solução geral da equação
em torno de
, explicitando as duas soluções linearmente independentes (bastam os quatro primeiros termos de cada solução).
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Estamos procurando a solução geral dessa equação em torno de
. Para isso, precisamos encontrar duas soluções linearmente independentes, apresentando os quatro primeiros termos de cada uma. Vamos usar a Solução por Séries de Potências, que é adequada quando procuramos soluções próximas a um ponto específico, neste caso,
.
Passo 2
Assumimos que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Distribuímos os termos e alinhamos os índices das somas para que todas as séries tenham a mesma potência de
:
Vamos reindexar as somas para que todas comecem com
:
Passo 6
Igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero para satisfazer a equação. Isso nos dá a seguinte relação de recorrência:
Resolvendo para
:
Passo 7
Para encontrar duas soluções linearmente independentes, assumimos diferentes valores para os termos iniciais
e
:
-
Primeira solução (
): , - Calculamos os coeficientes usando a relação de recorrência:
- Assim, a primeira solução é:
- Calculamos os coeficientes usando a relação de recorrência:
-
Segunda solução (
): , - Calculamos os coeficientes:
- Assim, a segunda solução é:
- Calculamos os coeficientes:
Resposta
As duas soluções linearmente independentes da equação diferencial em torno de
, com os quatro primeiros termos, são:
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial dada abaixo:
(a) (0.6 ponto) Mostre que
é um ponto singular regular da equação diferencial;
Considere a equação diferencial dada abaixo:
© (1.0 ponto) Determine a relação de recorrência;
Realize as conversões pedidas: (37)
para base binária.
Encontre o limite. Use a Regra de l