Considere a equação diferencial dada abaixo: 2 x^2 y''(x) + (x - x^2) y'(x) - y(x) = 0, x in (0, infinito) (a) (0.6 ponto) Mostre que x = 0 é um ponto singular regular da equação diferencial;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial dada por:
A pergunta quer que a gente mostre que é um ponto singular regular dessa equação. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares e pontos singulares regulares em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão, que é:
Para isso, vamos dividir toda a equação original por :
Então, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos singulares. Pontos singulares são valores de onde as funções ou não são analíticas, ou seja, onde elas podem ter singularidades como divisões por zero.
Observando e , vemos que ambos têm termos com no denominador. Especificamente, em , essas funções não são definidas porque teríamos divisão por zero.

Passo 4

Para determinar se é um ponto singular regular, precisamos verificar duas condições:
  1. deve ser analítica em
  2. deve ser analítica em
Aqui, . Vamos calcular cada uma dessas expressões.

Passo 5

Primeiro, calculamos :
Essa função é claramente analítica em porque não há mais divisão por zero e é uma função polinomial simples.

Passo 6

Agora, calculamos :
Essa expressão também é analítica em , já que é uma constante e não depende de .

Resposta

Como ambas as condições para um ponto singular regular são atendidas em , podemos concluir que é, de fato, um ponto singular regular da equação diferencial dada.

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