Considere a equação diferencial dada abaixo:
(a) (0.6 ponto) Mostre que
é um ponto singular regular da equação diferencial;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial dada por:
A pergunta quer que a gente mostre que
é um ponto singular regular dessa equação. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares e pontos singulares regulares em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão, que é:
Para isso, vamos dividir toda a equação original por
:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos singulares. Pontos singulares são valores de
onde as funções
ou
não são analíticas, ou seja, onde elas podem ter singularidades como divisões por zero.
Observando
e
, vemos que ambos têm termos com
no denominador. Especificamente, em
, essas funções não são definidas porque teríamos divisão por zero.
Passo 4
Para determinar se
é um ponto singular regular, precisamos verificar duas condições:
-
deve ser analítica em -
deve ser analítica em
Aqui,
. Vamos calcular cada uma dessas expressões.
Passo 5
Primeiro, calculamos
:
Essa função é claramente analítica em
porque não há mais divisão por zero e é uma função polinomial simples.
Passo 6
Agora, calculamos
:
Essa expressão também é analítica em
, já que é uma constante e não depende de
.
Resposta
Como ambas as condições para um ponto singular regular são atendidas em
, podemos concluir que
é, de fato, um ponto singular regular da equação diferencial dada.