Considere a equação diferencial dada abaixo: (a) (0.6 ponto) Mostre que é um ponto singular regular da equação diferencial;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial dada por: A pergunta quer que a gente mostre que é um ponto singular regular dessa equação. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares e pontos singulares regulares em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão, que é: Para isso, vamos dividir toda a equação original por : Então, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos singulares. Pontos singulares são valores de onde as funções ou não são analíticas, ou seja, onde elas podem ter singularidades como divisões por zero. Observando e , vemos que ambos têm termos com no denominador. Especificamente, em , essas funções não são definidas porque teríamos divisão por zero.

Passo 4

Para determinar se é um ponto singular regular, precisamos verificar duas condições: 1. deve ser analítica em 2. deve ser analítica em Aqui, . Vamos calcular cada uma dessas expressões.

Passo 5

Primeiro, calculamos : Essa função é claramente analítica em porque não há mais divisão por zero e é uma função polinomial simples.

Passo 6

Agora, calculamos : Essa expressão também é analítica em , já que é uma constante e não depende de .

Resposta

Como ambas as condições para um ponto singular regular são atendidas em , podemos concluir que é, de fato, um ponto singular regular da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados

Considere a equação diferencial dada abaixo: (c) (1.0 ponto) Determine a relação de recorrência;
Considere a equação diferencial (a) (1.0 ponto) Verifique que é ponto ordinário da equação. Encontre a relação de recorrência da solução em série de potências de , em torno de .
Considere a equação diferencial (b) (1.0 ponto) Encontre a solução geral da equação em torno de , explicitando as duas soluções linearmente independentes (bastam os quatro primeiros termos de cada solução).
Realize as conversões pedidas: (37) para base binária.