Considere a equação diferencial dada abaixo: (a) (0.6 ponto) Mostre que é um ponto singular regular da equação diferencial;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial dada por:
A pergunta quer que a gente mostre que é um ponto singular regular dessa equação. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares e pontos singulares regulares em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão, que é:
Para isso, vamos dividir toda a equação original por :
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos singulares. Pontos singulares são valores de onde as funções ou não são analíticas, ou seja, onde elas podem ter singularidades como divisões por zero.
Observando e , vemos que ambos têm termos com no denominador. Especificamente, em , essas funções não são definidas porque teríamos divisão por zero.
Passo 4
Para determinar se é um ponto singular regular, precisamos verificar duas condições:
1. deve ser analítica em
2. deve ser analítica em
Aqui, . Vamos calcular cada uma dessas expressões.
Passo 5
Primeiro, calculamos :
Essa função é claramente analítica em porque não há mais divisão por zero e é uma função polinomial simples.
Passo 6
Agora, calculamos :
Essa expressão também é analítica em , já que é uma constante e não depende de .
Resposta
Como ambas as condições para um ponto singular regular são atendidas em , podemos concluir que é, de fato, um ponto singular regular da equação diferencial dada.
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Realize as conversões pedidas: (37) para base binária.