Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI):
l 4 x^3+15 x y^2-5 cdot sin (x) sin (y) d yd x=-12 x^2 y-5 y^3-5 cdot cos (x) cos (y) y(pi2)=0
Resolva a equação diferencial dada e encontre a função y(x) que satisfaça a condição inicial fornecida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. O enunciado nos dá uma equação que relaciona e , e precisamos encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente técnicas para resolver equações exatas ou encontrar fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial. A equação dada é:
4x^3 + 15x y^2 - 5 cdot sin(x) sin(y) dydx = -12x^2 y - 5 y^3 - 5 cdot cos(x) cos(y)
Vamos passar todos os termos para o lado esquerdo da igualdade para ter a equação igual a zero:
4x^3 + 15x y^2 + 12x^2 y + 5 y^3 + 5 cdot cos(x) cos(y) - 5 cdot sin(x) sin(y) dydx = 0

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos que multiplicam M(x, y) + N(x, y) dydx = 0 e os que não multiplicam. Reescrevemos a equação na forma:
M(x, y) = 4x^3 + 15x y^2 + 12x^2 y + 5 y^3 + 5 cdot cos(x) cos(y)
Onde:
N(x, y) = -5 cdot sin(x) sin(y)

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, vamos verificar se ela é exata. Uma equação diferencial partial Mpartial y = partial Npartial x é exata se satisfaz:
partial Mpartial y = 30x y + 12x^2 + 15 y^2 - 5 cdot cos(x) sin(y)
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, calculando partial Npartial x = -5 cdot cos(x) sin(y) :
Agora, calculando :
Observamos que , então a equação não é exata.

Passo 5

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, tentamos fatores integrantes que dependem apenas de dmudx = mu(x) cdot partial Mpartial y - partial Npartial xN(x, y) ou apenas de dmudx = mu(x) cdot 30x y + 12x^2 + 15 y^2 - 5 cdot cos(x) sin(y) - (-5 cdot cos(x) sin(y))-5 cdot sin(x) sin(y) .
Vamos supor que o fator integrante dmudx = mu(x) cdot 30x y + 12x^2 + 15 y^2-5 cdot sin(x) sin(y) depende apenas de . Então, multiplicamos toda a equação por e buscamos satisfazer a condição de exatidão.
A condição para é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Simplificando:
Percebemos que a expressão ainda depende de , o que complica a busca por . Portanto, talvez seja mais fácil tentar um fator integrante que dependa apenas de .

Passo 6

Vamos tentar um fator integrante dmudy = mu(y) cdot partial Npartial x - partial Mpartial yM(x, y) que depende apenas de dmudy = mu(y) cdot -5 cdot cos(x) sin(y) - (30x y + 12x^2 + 15 y^2 - 5 cdot cos(x) sin(y))4x^3 + 15x y^2 + 12x^2 y + 5 y^3 + 5 cdot cos(x) cos(y) . A condição para ser o fator integrante é:
No nosso caso:
Novamente, a expressão depende de , o que dificulta a obtenção de . Nesse caso, pode ser necessário explorar outras técnicas ou simplificações, mas devido à complexidade da equação, podemos considerar métodos numéricos ou a possibilidade de uma solução implícita.

Passo 7

Dado que a equação é bastante complexa e não conseguimos encontrar um fator integrante simples, vamos tentar reorganizar a equação de forma a isolar -5 cdot sin(x) sin(y) dydx = -4x^3 - 15x y^2 - 12x^2 y - 5 y^3 - 5 cdot cos(x) cos(y) :
dydx = 4x^3 + 15x y^2 + 12x^2 y + 5 y^3 + 5 cdot cos(x) cos(y)5 cdot sin(x) sin(y)
Dividindo ambos os lados por :
Infelizmente, essa expressão ainda é bastante complicada para resolver de forma analítica. Nesse caso, poderíamos buscar soluções em forma de séries ou utilizar métodos numéricos para aproximar .

Resposta

Devido à complexidade da equação diferencial apresentada e à dificuldade em encontrar um fator integrante que torne a equação exata, a solução analítica explícita para não é facilmente obtida. Portanto, a solução deve ser aproximada utilizando métodos numéricos ou técnicas avançadas de análise de equações diferenciais.

Exercícios relacionados