integral cos ^7 x d x

Passo 1

Beleza, bora resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma técnica de substituição que envolve desmembrar a função em partes mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever integral cos^7 x , dx = integral cos^6 x cdot cos x , dx como . Assim, temos:
Isso facilita a aplicação da substituição.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que cos^6 x = (1 - sin^2 x)^3 pode ser escrito como integral (1 - sin^2 x)^3 cdot cos x , dx . Sabendo que , substituímos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja integral (1 - u^2)^3 , du , então . Substituindo na integral:
Agora, precisamos expandir para facilitar a integração.

Passo 5

Expandindo (1 - u^2)^3 = 1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6 :
integral (1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6) , du
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral 1 , du = u
integral -3u^2 , du = -u^3
integral 3u^4 , du = 35u^5
integral -u^6 , du = -17u^7
Juntando tudo:
u - u^3 + 35u^5 - 17u^7 + C

Passo 7

Agora, substituímos sin x - sin^3 x + 35sin^5 x - 17sin^7 x + C de volta:

Resposta

integral cos^7 x , dx = sin x - sin^3 x + 35sin^5 x - 17sin^7 x + C

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