Resolva o seguinte Problema do Valor Inicial:
(2.5pt)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. A matéria envolvida aqui é a de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Termo Fornecedor. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea:
Para isso, vamos assumir que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos que:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos:
Obtemos uma raiz dupla
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinaremos com as condições iniciais.
Passo 4
Agora vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o termo fornecedor é
, tentamos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, com
:
Agora, derivando
para encontrar
:
Aplicando
:
Substituindo
:
Resposta
A solução final da equação diferencial é: