Resolva o seguinte Problema do Valor Inicial:
(2.5pt)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . A matéria envolvida aqui é a de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Termo Fornecedor. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea:
Para isso, vamos assumir que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos que:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos:
Obtemos uma raiz dupla . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinaremos com as condições iniciais.

Passo 4

Agora vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo fornecedor é , tentamos uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, com :
Agora, derivando para encontrar :
Aplicando :
Substituindo :

Resposta

A solução final da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

As funções são linearmente independentes?
9-10 Obtenha .
Escreva a forma geral das equações de Euler; (0.5pt)
Considere a equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes,
Na unidade anterior vimos que a solução geral da homogênea associada é , onde as funções dependem das raízes do polinômio característico . A função dada pelo determinante
denomina-se wronskiano de .
a) Mostre que para todo ;
b) Mostre que qualquer soluçao particular da equaçao acima tem a forma