Resolva o seguinte Problema do Valor Inicial:
y'' - 4y' + 4y = 3e^(-t), y(0) = 0, y'(0) = 0
(2.5pt)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . A matéria envolvida aqui é a de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Termo Fornecedor. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea:
Para isso, vamos assumir que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos que:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos:
Obtemos uma raiz dupla . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinaremos com as condições iniciais.

Passo 4

Agora vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo fornecedor é , tentamos uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, com :
Agora, derivando para encontrar :
Aplicando :
Substituindo :

Resposta

A solução final da equação diferencial é:

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