Resolva o sistema de equações lineares com coeficientes constantes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A gente tem uma matriz
e um vetor
que depende do tempo
. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, e aplicar métodos para resolver sistemas de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Autovalores nos ajudam a entender o comportamento do sistema ao longo do tempo. Para achar os autovalores, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Calculando a determinante:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes. Primeiro, para
:
Isso nos dá a relação:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 6
Agora, para
:
Isso nos dá a relação:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 7
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes arbitrárias que podem ser encontradas com condições iniciais.