Resolva o sistema de equações lineares com coeficientes constantes
x^prime=A x, com A=[ll 4 & -5 2 & -3 ] e x(t)=[l x1(t) x2(t) ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A gente tem uma matriz e um vetor que depende do tempo . Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, e aplicar métodos para resolver sistemas de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Autovalores nos ajudam a entender o comportamento do sistema ao longo do tempo. Para achar os autovalores, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando a determinante:
A - lambda I = 4 - lambda & -5 2 & -3 - lambda
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(-3 - lambda) - (-5)(2)
= (-12 -4lambda + 3lambda + lambda^2) + 10
= lambda^2 - lambda - 2

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - lambda - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, os autovalores são:
lambda1 = 2 e lambda2 = -1

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes. Primeiro, para (A - 2I)v = 0 :
2 & -5 2 & -5 v1 v2 = 0 0
2v1 - 5v2 = 0 Rightarrow v1 = 52v2
Isso nos dá a relação:
5 2
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 6

Agora, para (A + I)v = 0 :
5 & -5 2 & -2 v1 v2 = 0 0
5v1 - 5v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Isso nos dá a relação:
1 1
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 7

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
x(t) = c1 e^lambda1 t v^(1) + c2 e^lambda2 t v^(2)
Substituindo os valores:
x(t) = c1 e^2t 5 2 + c2 e^-t 1 1

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = c1 e^2t 5 2 + c2 e^-t 1 1
Onde e são constantes arbitrárias que podem ser encontradas com condições iniciais.

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