Usando coordenadas polares, calcule:
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Vamos usar coordenadas polares para resolver este exercício, pois simplifica a integração em regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde
e
. Nesta transformação, o elemento de área
se torna
.
Passo 3
A expressão
em coordenadas polares torna-se
. Portanto, a função a ser integrada
passa a ser
.
Passo 4
A região
é definida por
e
. Em coordenadas polares, isso corresponde a
e
, já que
implica que
.
Passo 5
Agora, expressamos a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a
: