Usando coordenadas polares, calcule: integral duplaR(x^2+y^2)^2 d x d y, onde R=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= ^R, x >= 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR(x^2+y^2)^2 , dx , dy, onde a região R é definida por x^2+y^2 <= R^2 e x >= 0. Vamos usar coordenadas polares para resolver este exercício, pois simplifica a integração em regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta), onde x = r costheta e y = r sintheta. Nesta transformação, o elemento de área dx , dy se torna r , dr , dtheta.

Passo 3

A expressão x^2+y^2 em coordenadas polares torna-se r^2. Portanto, a função a ser integrada (x^2+y^2)^2 passa a ser r^4.

Passo 4

A região R é definida por x^2+y^2 <= R^2 e x >= 0. Em coordenadas polares, isso corresponde a 0 <= r <= R e -pi2 <= theta <= pi2, já que x >= 0 implica que costheta >= 0.

Passo 5

Agora, expressamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaR(x^2+y^2)^2 , dx , dy = integral-pi2^pi2 integral0^R r^4 cdot r , dr , dtheta = integral-pi2^pi2 integral0^R r^5 , dr , dtheta

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^R r^5 , dr = [ r^66 ]0^R = R^66

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a theta:
integral-pi2^pi2 R^66 , dtheta = R^66 cdot [ theta ]-pi2^pi2 = R^66 cdot pi = pi R^66

Resposta

pi R^66

Exercícios relacionados