Considere a Equação Diferencial Ordinária abaixo:
Classifique cada número real como Ponto Ordinário, Singular Regular ou Singular Irregular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O desafio aqui é classificar cada número real como Ponto Ordinário, Singular Regular ou Singular Irregular para a equação dada:
Para isso, vamos precisar entender o que são pontos ordinários e singulares em uma EDO e como identificar se um ponto singular é regular ou irregular.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão de uma EDO linear de segunda ordem:
Para isso, dividimos toda a equação por :
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos identificar onde a função e não são analíticas, ou seja, onde elas têm singularidades. Observamos que tanto quanto têm termos com , o que significa que em elas não são definidas (têm uma singularidade).

Passo 4

Os pontos onde e são analíticas são chamados de Pontos Ordinários. Já os pontos onde pelo menos uma dessas funções não é analítica são chamados de Pontos Singulares. No nosso caso, é um ponto singular, e qualquer é um ponto ordinário.

Passo 5

Mas não para por aí! Quando temos um ponto singular, precisamos saber se ele é Regular ou Irregular. Um ponto singular é Regular se:
  • é analítico em
  • é analítico em
Vamos verificar para :
  • (que é constante e, portanto, analítico)
  • (que também é analítico)
Como ambas as expressões são analíticas em , concluímos que o ponto singular é um Ponto Singular Regular.

Resposta

Todos os números reais diferentes de zero são Pontos Ordinários, e o ponto é um Ponto Singular Regular.

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Considere a função . Verifique que admite pontos de mínimo global e de máximo local, mas não admite pontos de máximo global. Cuidado: a função não é derivável em todos os pontos de seu domínio. (Resp: min globais local .
Para determine intervalos de crescimento, de decrescimento e extremos locais. Esboçe o gráfico da função.
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações (justificar):
(a) Se é diferenciável então a gráfica de é crescente.
Considere a Equação Diferencial Ordinária abaixo:
Encontre as Raízes da Equação Indicial para soluções em x