Considere a Equação Diferencial Ordinária abaixo:
Classifique cada número real como Ponto Ordinário, Singular Regular ou Singular Irregular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O desafio aqui é classificar cada número real como Ponto Ordinário, Singular Regular ou Singular Irregular para a equação dada:
Para isso, vamos precisar entender o que são pontos ordinários e singulares em uma EDO e como identificar se um ponto singular é regular ou irregular.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão de uma EDO linear de segunda ordem:
Para isso, dividimos toda a equação por
:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos identificar onde a função
e
não são analíticas, ou seja, onde elas têm singularidades. Observamos que tanto
quanto
têm termos com
, o que significa que em
elas não são definidas (têm uma singularidade).
Passo 4
Os pontos onde
e
são analíticas são chamados de Pontos Ordinários. Já os pontos onde pelo menos uma dessas funções não é analítica são chamados de Pontos Singulares. No nosso caso,
é um ponto singular, e qualquer
é um ponto ordinário.
Passo 5
Mas não para por aí! Quando temos um ponto singular, precisamos saber se ele é Regular ou Irregular. Um ponto singular é Regular se:
-
é analítico em -
é analítico em
Vamos verificar para
:
-
(que é constante e, portanto, analítico) -
(que também é analítico)
Como ambas as expressões são analíticas em
, concluímos que o ponto singular
é um Ponto Singular Regular.
Resposta
Todos os números reais diferentes de zero são Pontos Ordinários, e o ponto
é um Ponto Singular Regular.