Classifique cada número real como Ponto Ordinário, Singular Regular ou Singular Irregular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O desafio aqui é classificar cada número real como Ponto Ordinário, Singular Regular ou Singular Irregular para a equação dada:
Para isso, vamos precisar entender o que são pontos ordinários e singulares em uma EDO e como identificar se um ponto singular é regular ou irregular.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão de uma EDO linear de segunda ordem:
Para isso, dividimos toda a equação por :
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos identificar onde a função e não são analíticas, ou seja, onde elas têm singularidades. Observamos que tanto quanto têm termos com , o que significa que em elas não são definidas (têm uma singularidade).
Passo 4
Os pontos onde e são analíticas são chamados de Pontos Ordinários. Já os pontos onde pelo menos uma dessas funções não é analítica são chamados de Pontos Singulares. No nosso caso, é um ponto singular, e qualquer é um ponto ordinário.
Passo 5
Mas não para por aí! Quando temos um ponto singular, precisamos saber se ele é Regular ou Irregular. Um ponto singular é Regular se:
é analítico em
é analítico em
Vamos verificar para :
(que é constante e, portanto, analítico)
(que também é analítico)
Como ambas as expressões são analíticas em , concluímos que o ponto singular é um Ponto Singular Regular.
Resposta
Todos os números reais diferentes de zero são Pontos Ordinários, e o ponto é um Ponto Singular Regular.