Considere a Equação Diferencial Ordinária abaixo:
Encontre as Raízes da Equação Indicial para soluções em x
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação diferencial do tipo:
O objetivo aqui é encontrar as raízes da equação indicial para soluções onde
. Para resolver isso, vamos usar o método da equação indicial, que é muito útil para encontrar soluções de equações diferenciais em séries de potências. Vamos precisar assumir uma solução na forma de
e encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução da equação diferencial pode ser expressa como:
Aqui,
é um número que precisamos determinar. Agora, vamos calcular as derivadas de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
- Primeira derivada (
):
- Segunda derivada (
):
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Para que essa equação valha para todo
, os coeficientes dos termos
e
devem ser iguais a zero separadamente.
Equação para
:
Equação para
:
A segunda equação,
, não faz sentido, o que indica que nossa suposição inicial funciona apenas se a parte envolvendo
for suficiente para determinar
. Assim, focamos na primeira equação para encontrar as raízes.
Passo 7
Resolvendo a equação indicial:
Vamos simplificar:
Fatorando:
Passo 8
Encontramos as raízes da equação:
Resposta
As raízes da equação indicial são
e
.
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