Considere a Equação Diferencial Ordinária abaixo:
x^2 y'' + 3/2 x y' - 2 x y = 0
Encontre as Raízes da Equação Indicial para soluções em x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação diferencial do tipo:
O objetivo aqui é encontrar as raízes da equação indicial para soluções onde . Para resolver isso, vamos usar o método da equação indicial, que é muito útil para encontrar soluções de equações diferenciais em séries de potências. Vamos precisar assumir uma solução na forma de e encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução da equação diferencial pode ser expressa como:
Aqui, é um número que precisamos determinar. Agora, vamos calcular as derivadas de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
  1. Primeira derivada ( ):
  1. Segunda derivada ( ):

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Substituindo de volta na equação:

Passo 6

Para que essa equação valha para todo , os coeficientes dos termos e devem ser iguais a zero separadamente.
Equação para :
Equação para :
A segunda equação, , não faz sentido, o que indica que nossa suposição inicial funciona apenas se a parte envolvendo for suficiente para determinar . Assim, focamos na primeira equação para encontrar as raízes.

Passo 7

Resolvendo a equação indicial:
Vamos simplificar:
Fatorando:

Passo 8

Encontramos as raízes da equação:

Resposta

As raízes da equação indicial são e .

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