Considere a função . Verifique que admite pontos de mínimo global e de máximo local, mas não admite pontos de máximo global. Cuidado: a função não é derivável em todos os pontos de seu domínio. (Resp: min globais local .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir onde ela tem pontos de mínimo global e máximo local. Isso envolve entender um pouquinho de análise de funções e como o valor absoluto afeta o gráfico. Vamos precisar analisar o comportamento da função, achar onde ela é contínua e onde pode ter essas pontas de mínimo e máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o que está dentro do valor absoluto: . Esse é um polinômio do segundo grau, e a gente pode fatorar ele para facilitar:
Isso significa que a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal nos pontos e . Vamos usar isso para quebrar a função em pedaços mais simples.
Passo 3
Vamos analisar a função em três intervalos separados, baseados nos pontos onde o dentro do valor absoluto muda de sinal:
Para :
Nesse intervalo, tanto quanto são negativos, então é positivo (porque negativo vezes negativo dá positivo). Assim, o valor absoluto não altera nada:
Para :
Aqui, é positivo ou zero, mas ainda é negativo ou zero. Então, é negativo ou zero, e o valor absoluto vai mudar o sinal:
Para :
Ambos e são positivos, então é positivo novamente:
Passo 4
Agora que a gente dividiu a função em pedaços, vamos encontrar as derivadas em cada intervalo para identificar onde podem existir mínimos e máximos.
Para :
Derivando:
Igualando a zero:
Mas está fora desse intervalo (), então não há extremum aqui.
Para :
Derivando:
Igualando a zero:
Esse valor está dentro do intervalo, então temos um ponto crítico em .
Para :
Derivando:
Igualando a zero:
Mas está fora desse intervalo (), então não há extremum aqui.
Passo 5
Agora vamos avaliar a natureza desses pontos críticos e analisar os extremos nos pontos onde a função muda de expressão, ou seja, em e .
Em :
Vamos ver o valor da função:
Vendo os valores próximos, percebemos que atinge o menor valor possível aqui. Então, é um ponto de mínimo global.
Em :
Da mesma forma que em , atinge novamente o menor valor aqui. Então, também é um ponto de mínimo global.
Em :
Observando os valores ao redor de , a função atinge um pico aqui, então é um ponto de máximo local.
Resposta
A função possui pontos de mínimo global em e , e um ponto de máximo local em . Não há ponto de máximo global.