Considere a função . Verifique que admite pontos de mínimo global e de máximo local, mas não admite pontos de máximo global. Cuidado: a função não é derivável em todos os pontos de seu domínio. (Resp: min globais local .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir onde ela tem pontos de mínimo global e máximo local. Isso envolve entender um pouquinho de análise de funções e como o valor absoluto afeta o gráfico. Vamos precisar analisar o comportamento da função, achar onde ela é contínua e onde pode ter essas pontas de mínimo e máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro do valor absoluto: . Esse é um polinômio do segundo grau, e a gente pode fatorar ele para facilitar:
Isso significa que a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal nos pontos e . Vamos usar isso para quebrar a função em pedaços mais simples.

Passo 3

Vamos analisar a função em três intervalos separados, baseados nos pontos onde o dentro do valor absoluto muda de sinal:
  1. Para :
    Nesse intervalo, tanto quanto são negativos, então é positivo (porque negativo vezes negativo dá positivo). Assim, o valor absoluto não altera nada:
  2. Para :
    Aqui, é positivo ou zero, mas ainda é negativo ou zero. Então, é negativo ou zero, e o valor absoluto vai mudar o sinal:
  3. Para :
    Ambos e são positivos, então é positivo novamente:

Passo 4

Agora que a gente dividiu a função em pedaços, vamos encontrar as derivadas em cada intervalo para identificar onde podem existir mínimos e máximos.
  1. Para :
    Derivando:
    Igualando a zero:
    Mas está fora desse intervalo ( ), então não há extremum aqui.
  2. Para :
    Derivando:
    Igualando a zero:
    Esse valor está dentro do intervalo, então temos um ponto crítico em .
  3. Para :
    Derivando:
    Igualando a zero:
    Mas está fora desse intervalo ( ), então não há extremum aqui.

Passo 5

Agora vamos avaliar a natureza desses pontos críticos e analisar os extremos nos pontos onde a função muda de expressão, ou seja, em e .
  1. Em :
    Vamos ver o valor da função:
    Vendo os valores próximos, percebemos que atinge o menor valor possível aqui. Então, é um ponto de mínimo global.
  2. Em :
    Da mesma forma que em , atinge novamente o menor valor aqui. Então, também é um ponto de mínimo global.
  3. Em :
    Observando os valores ao redor de , a função atinge um pico aqui, então é um ponto de máximo local.

Resposta

A função possui pontos de mínimo global em e , e um ponto de máximo local em . Não há ponto de máximo global.

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Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações (justificar):
(a) Se é diferenciável então a gráfica de é crescente.