Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações (justificar):
(a) Se é diferenciável então a gráfica de é crescente.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se é diferenciável, então a gráfica de é crescente.” Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas e propriedades de funções crescentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e verificar as condições que garantem que essa função seja crescente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é crescente em um intervalo se sua derivada for sempre positiva nesse intervalo. Então, para verificar se é crescente, precisamos encontrar a derivada dessa função e analisar seu sinal.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Aplicando a regra do poder na derivada, temos:

Passo 4

Agora, para que seja crescente, a derivada deve ser positiva. Sabemos que é sempre não negativa, pois o quadrado de qualquer número real é positivo ou zero. Portanto, o sinal da derivada depende do sinal de .

Passo 5

Se for positivo, então também será positivo, o que implica que é crescente. No entanto, se for negativo, será decrescente. Além disso, se , a derivada será zero, indicando um ponto horizontal na gráfica.

Passo 6

Portanto, a afirmação de que “se é diferenciável, então a gráfica de é crescente” não é sempre verdadeira. Ela somente será verdadeira se em todo o domínio considerado.

Resposta

Falsa. A gráfica de é crescente somente se a derivada for positiva. Se for negativa em algum intervalo, não será crescente nesse intervalo.

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