Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações (justificar):
(a) Se
é diferenciável então a gráfica de
é crescente.
(a) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
é diferenciável, então a gráfica de
é crescente.” Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas e propriedades de funções crescentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de
e verificar as condições que garantem que essa função seja crescente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é crescente em um intervalo se sua derivada for sempre positiva nesse intervalo. Então, para verificar se
é crescente, precisamos encontrar a derivada dessa função e analisar seu sinal.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Aplicando a regra do poder na derivada, temos:
Passo 4
Agora, para que
seja crescente, a derivada
deve ser positiva. Sabemos que
é sempre não negativa, pois o quadrado de qualquer número real é positivo ou zero. Portanto, o sinal da derivada depende do sinal de
.
Passo 5
Se
for positivo, então
também será positivo, o que implica que
é crescente. No entanto, se
for negativo,
será decrescente. Além disso, se
, a derivada será zero, indicando um ponto horizontal na gráfica.
Passo 6
Portanto, a afirmação de que “se
é diferenciável, então a gráfica de
é crescente” não é sempre verdadeira. Ela somente será verdadeira se
em todo o domínio considerado.
Resposta
Falsa. A gráfica de
é crescente somente se a derivada
for positiva. Se
for negativa em algum intervalo,
não será crescente nesse intervalo.