Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações (justificar):
(a) Se é diferenciável então a gráfica de é crescente.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se é diferenciável, então a gráfica de é crescente.” Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas e propriedades de funções crescentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e verificar as condições que garantem que essa função seja crescente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é crescente em um intervalo se sua derivada for sempre positiva nesse intervalo. Então, para verificar se é crescente, precisamos encontrar a derivada dessa função e analisar seu sinal.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de . Aplicando a regra do poder na derivada, temos:
Passo 4
Agora, para que seja crescente, a derivada deve ser positiva. Sabemos que é sempre não negativa, pois o quadrado de qualquer número real é positivo ou zero. Portanto, o sinal da derivada depende do sinal de .
Passo 5
Se for positivo, então também será positivo, o que implica que é crescente. No entanto, se for negativo, será decrescente. Além disso, se , a derivada será zero, indicando um ponto horizontal na gráfica.
Passo 6
Portanto, a afirmação de que “se é diferenciável, então a gráfica de é crescente” não é sempre verdadeira. Ela somente será verdadeira se em todo o domínio considerado.
Resposta
Falsa. A gráfica de é crescente somente se a derivada for positiva. Se for negativa em algum intervalo, não será crescente nesse intervalo.