Para determine intervalos de crescimento, de decrescimento e extremos locais. Esboçe o gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função para descobrir onde ela está crescendo, onde está decrescendo e identificar os extremos locais (máximos e mínimos). Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos dá informações sobre o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
Dados:
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes para identificar os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos extremos locais.
Resolvendo :
Fatorando:
Então:

Passo 4

Vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo analisando o sinal da derivada em cada intervalo definido pelos pontos críticos e .
Dividindo a reta real em três intervalos:
Escolhendo um valor de teste em cada intervalo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Com os sinais da derivada em cada intervalo, podemos concluir:
  • Crescendo quando :
  • Decrescendo quando :

Passo 6

Agora, vamos identificar os extremos locais usando os pontos críticos:
  • Em :
    • A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em :
    • A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular os valores dessas funções:
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função com base nas informações que obtivemos:
  • Intervalos de crescimento:
    • e
  • Intervalos de decrescimento:
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
O gráfico terá a forma típica de um polinômio de terceiro grau, subindo para , decrescendo entre e , e subindo novamente para , passando pelos pontos de máximo e mínimo que calculamos.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e decrescendo no intervalo . Possui um máximo local em e um mínimo local em . O gráfico reflete esse comportamento, com as respectivas variações de subida e descida nos intervalos indicados.

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