Usando a trasformada de Laplace, resolva o seguinte problema ao valor inicia

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e resolver a equação algébrica resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma função é . As transformadas das derivadas são:
Como e , essas expressões simplificam para:

Passo 3

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação:
Sabemos que:
Então, substituindo na equação:

Passo 4

Vamos fatorar na equação:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos fatorar o denominador :
Então, a expressão para fica:

Passo 6

Para facilitar o cálculo da Transformada de Laplace inversa, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 7

Vamos encontrar os coeficientes substituindo valores de que simplificam a equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para e (usando números complexos), resolveremos para e . Mas uma maneira mais simples é expandir e igualar os coeficientes:
Expandindo:
Coletando termos semelhantes e igualando os coeficientes, encontramos:

Passo 8

Agora, reescrevemos com os valores encontrados:
Simplificando:

Passo 9

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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(a) .