Usando a trasformada de Laplace, resolva o seguinte problema ao valor inicia
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e resolver a equação algébrica resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma função
é
. As transformadas das derivadas são:
Como
e
, essas expressões simplificam para:
Passo 3
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação:
Sabemos que:
Então, substituindo na equação:
Passo 4
Vamos fatorar
na equação:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos fatorar o denominador
:
Então, a expressão para
fica:
Passo 6
Para facilitar o cálculo da Transformada de Laplace inversa, vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 7
Vamos encontrar os coeficientes
substituindo valores de
que simplificam a equação:
-
Para
: -
Para
: -
Para
e (usando números complexos), resolveremos para e . Mas uma maneira mais simples é expandir e igualar os coeficientes:
Expandindo:
Coletando termos semelhantes e igualando os coeficientes, encontramos:
Passo 8
Agora, reescrevemos
com os valores encontrados:
Simplificando:
Passo 9
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Aplicando isso:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Devem ser construidas embalagens de forma cilíndricas para bebidas de
. Determine as dimensões da embalagem para que o custo seja mínimo. [Resp:r=3,62 e h=7,25 cm]
Considere a Equação Diferencial Ordinária abaixo:
Encontre as Raízes da Equação Indicial para soluções em x
Usando a trasformada de Laplace, resolva o seguinte problema ao valor inicia
onde
Use o sinal da derivada segunda para determinar intervalos de concavidade e convexidade das funções a seguir:
(a) .
(a)