Devem ser construidas embalagens de forma cilíndricas para bebidas de . Determine as dimensões da embalagem para que o custo seja mínimo. [Resp:r=3,62 e h=7,25 cm]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa construir embalagens cilíndricas que contem 300 cm³ e achar as dimensões que fazem o custo ser o menor possível. Isso envolve conhecimentos de geometria, especificamente sobre volume e área de superfície de cilindros. Vamos precisar usar fórmulas de volume e de área para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
Onde é o volume, é o raio da base e é a altura. Sabemos que o volume deve ser 300 cm³, então temos:
A gente pode usar essa equação para relacionar e .

Passo 3

Agora, vamos pensar no custo da embalagem. Geralmente, o custo está relacionado à quantidade de material usado, que nesse caso é a área de superfície do cilindro. A fórmula da área de superfície é:
Aqui, é a área das duas bases e é a área lateral.

Passo 4

Nosso objetivo é minimizar o custo, ou seja, minimizar a área de superfície . Para isso, primeiro precisamos expressar em termos de usando a equação do volume:
Assim, podemos substituir na fórmula da área de superfície:
Simplificando:

Passo 5

Agora, queremos achar o valor de que minimiza . Para isso, calculamos a derivada de em relação a e igualamos a zero:
Igualando a zero:
Resolvendo para :
Calculando o valor numérico:

Passo 6

Agora que temos o valor de , vamos encontrar usando a equação que relaciona e :
Substituindo por 3,62 cm:
Calculando:

Resposta

As dimensões da embalagem que minimizam o custo são:
  • Raio cm
  • Altura cm

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onde