Devem ser construidas embalagens de forma cilíndricas para bebidas de
. Determine as dimensões da embalagem para que o custo seja mínimo. [Resp:r=3,62 e h=7,25 cm]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa construir embalagens cilíndricas que contem 300 cm³ e achar as dimensões que fazem o custo ser o menor possível. Isso envolve conhecimentos de geometria, especificamente sobre volume e área de superfície de cilindros. Vamos precisar usar fórmulas de volume e de área para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
Onde
é o volume,
é o raio da base e
é a altura. Sabemos que o volume deve ser 300 cm³, então temos:
A gente pode usar essa equação para relacionar
e
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no custo da embalagem. Geralmente, o custo está relacionado à quantidade de material usado, que nesse caso é a área de superfície do cilindro. A fórmula da área de superfície é:
Aqui,
é a área das duas bases e
é a área lateral.
Passo 4
Nosso objetivo é minimizar o custo, ou seja, minimizar a área de superfície
. Para isso, primeiro precisamos expressar
em termos de
usando a equação do volume:
Assim, podemos substituir
na fórmula da área de superfície:
Simplificando:
Passo 5
Agora, queremos achar o valor de
que minimiza
. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero:
Igualando a zero:
Resolvendo para
:
Calculando o valor numérico:
Passo 6
Agora que temos o valor de
, vamos encontrar
usando a equação que relaciona
e
:
Substituindo
por 3,62 cm:
Calculando:
Resposta
As dimensões da embalagem que minimizam o custo são:
- Raio
cm - Altura
cm
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