Considere a equação diferencial ordinária do oscilador harmônico forçado a seguir
m d^2 x(t)d t^2+k x(t)=f0 cos (omegaf t)
Determine a solução geral da equação usando o Método da transformada de Fourier no contínuo e sua inversa apresentadas a seguir, respectivamente.
p(omega) & =1raiz2 pi integral-infty^+infty d t exp (-i omega t) x(t) x(t) & =1raiz2 pi integral-infty^+infty d omega exp (i omega t) p(omega)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre um oscilador harmônico forçado, que é basicamente um sistema que oscila quando você aplica uma força externa a ele. A equação que descreve esse sistema é:
m d^2 x(t)d t^2 + k x(t) = f0 cos (omegaf t)
Aqui, m é a massa, k é a constante da mola, f₀ é a amplitude da força externa, e ω_f é a frequência dessa força. Vamos usar o Método da Transformada de Fourier para encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender como aplicar as transformadas de Fourier direta e inversa, que nos ajudam a converter funções do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial. Lembrando que a transformada de Fourier de uma derivada é relacionada pela multiplicação por m ( (iomega)^2 cdot P(omega) ) + k P(omega) = f02 ( de. Aplicando a transformada nos dois lados da equação:
Aqui, é a transformada de Fourier de , e usamos a propriedade da transformada do cosseno, que resulta em delta de Dirac em ±ω_f.

Passo 3

Vamos simplificar a equação obtida:
(-momega^2 + k) P(omega) = f02 ( de
Agora, isolamos P(omega) = f02(-momega^2 + k) ( de:

Passo 4

Para encontrar x(t) = 1raiz2pi integral-infty^+infty domega , e^iomega t P(omega) , que é a solução no domínio do tempo, aplicamos a transformada inversa de Fourier:
x(t) = f02raiz2pi integral-infty^+infty domega , e^iomega t-momega^2 + k ( de
Substituindo da etapa anterior:

Passo 5

As integrais com as funções delta simplificam muito a expressão, pois a delta ‘pega’ o valor da função no ponto onde ela está localizada:
x(t) = f02raiz2pi ( e^iomegaf t-momegaf^2 + k + e^-iomegaf t-momegaf^2 + k )
Podemos reescrever isso usando a identidade de Euler para combinar os termos exponenciais em uma função cosseno:
x(t) = f0raiz2pi(-momegaf^2 + k) cos(omegaf t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial usando o Método da Transformada de Fourier é:
x(t) = f0raiz2pi(k - momegaf^2) cos(omegaf t)

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