Considere a equação diferencial ordinária do oscilador harmônico forçado a seguir
Determine a solução geral da equação usando o Método da transformada de Fourier no contínuo e sua inversa apresentadas a seguir, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre um oscilador harmônico forçado, que é basicamente um sistema que oscila quando você aplica uma força externa a ele. A equação que descreve esse sistema é:
Aqui, m é a massa, k é a constante da mola, f₀ é a amplitude da força externa, e ω_f é a frequência dessa força. Vamos usar o Método da Transformada de Fourier para encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender como aplicar as transformadas de Fourier direta e inversa, que nos ajudam a converter funções do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial. Lembrando que a transformada de Fourier de uma derivada é relacionada pela multiplicação por
. Aplicando a transformada nos dois lados da equação:
Aqui,
é a transformada de Fourier de
, e usamos a propriedade da transformada do cosseno, que resulta em delta de Dirac em ±ω_f.
Passo 3
Vamos simplificar a equação obtida:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Para encontrar
, que é a solução no domínio do tempo, aplicamos a transformada inversa de Fourier:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 5
As integrais com as funções delta simplificam muito a expressão, pois a delta ‘pega’ o valor da função no ponto onde ela está localizada:
Podemos reescrever isso usando a identidade de Euler para combinar os termos exponenciais em uma função cosseno:
Resposta
A solução geral da equação diferencial usando o Método da Transformada de Fourier é:
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, a saber
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Escreva explicitamente a velocidade com que as ondas de som se propagam nesta barra.
Escreva explicitamente a velocidade