Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de derivadas parciais, regras de derivação e propriedades de funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
.
Passo 3
Calculando
:
Para a primeira parte, usamos a regra do produto, e para a segunda, a derivada da função logarítmica.
Passo 4
Aplicando a regra do produto na primeira parte:
E derivando a segunda parte:
Então, a primeira derivada parcial em relação a
fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Passo 6
Derivando
em relação a
:
Para a primeira parte, novamente usamos a regra do produto.
Passo 7
Calculando a derivada da primeira parte:
E para a segunda parte:
Portanto, a segunda derivada parcial em relação a
é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, chamada de
.
Passo 9
Calculando
:
Para a primeira parte, usamos a derivada da função exponencial, e para a segunda, a derivada da função logarítmica.
Passo 10
Derivando a primeira parte:
E derivando a segunda parte:
Então, a primeira derivada parcial em relação a
fica:
Passo 11
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Passo 12
Derivando
em relação a
:
Para a primeira parte:
E para a segunda parte:
Portanto, a segunda derivada parcial em relação a
é:
Passo 13
Por fim, vamos encontrar as derivadas parciais mistas, ou seja,
e
. De acordo com o teorema de Schwarz, para funções suficientemente suaves,
.
Passo 14
Calculando
, que é a derivada de
em relação a
:
Para a primeira parte:
E para a segunda parte:
Assim, a derivada parcial mista é:
Como
, temos também:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: