Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y) = x * e^(y * x) + ln(x + y)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de derivadas parciais, regras de derivação e propriedades de funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que chamaremos de .

Passo 3

Calculando :
Para a primeira parte, usamos a regra do produto, e para a segunda, a derivada da função logarítmica.

Passo 4

Aplicando a regra do produto na primeira parte:
E derivando a segunda parte:
Então, a primeira derivada parcial em relação a fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, .

Passo 6

Derivando em relação a :
Para a primeira parte, novamente usamos a regra do produto.

Passo 7

Calculando a derivada da primeira parte:
E para a segunda parte:
Portanto, a segunda derivada parcial em relação a é:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , chamada de .

Passo 9

Calculando :
Para a primeira parte, usamos a derivada da função exponencial, e para a segunda, a derivada da função logarítmica.

Passo 10

Derivando a primeira parte:
E derivando a segunda parte:
Então, a primeira derivada parcial em relação a fica:

Passo 11

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, .

Passo 12

Derivando em relação a :
Para a primeira parte:
E para a segunda parte:
Portanto, a segunda derivada parcial em relação a é:

Passo 13

Por fim, vamos encontrar as derivadas parciais mistas, ou seja, e . De acordo com o teorema de Schwarz, para funções suficientemente suaves, .

Passo 14

Calculando , que é a derivada de em relação a :
Para a primeira parte:
E para a segunda parte:
Assim, a derivada parcial mista é:
Como , temos também:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

Exercícios relacionados