Considere a equação diferencial ordinária de segunda ordem para a função f(x), a saber
d^2 f(x)d x^2=-f(x)
Determine a solução geral da equação usando o Método da transformada de Fourier no contínuo e sua inversa apresentadas a seguir, respectivamente.
r g(p)=1raiz2 pi integral-infty^+infty d x exp (-i p x) f(x) f(x)=1raiz2 pi integral-infty^+infty d p exp (i p x) g(p)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e transformadas de Fourier. Para resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Fourier contínua e sua inversa, conforme as fórmulas que foram dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial. A transformada de Fourier de -p^2 g(p) = -g(p) é , onde é a transformada de . Então, aplicando a transformada na equação, temos:

Passo 3

Agora, simplificamos a equação:
-p^2 g(p) = -g(p) implies (-p^2 + 1) g(p) = 0
Para que isso seja válido para todo , a única solução possível é , a não ser que , o que acontece quando .

Passo 4

Isso significa que a transformada de Fourier g(p) = A de é zero para todos os exceto em e . Portanto, podemos escrever:
Onde e são constantes, e é a função delta de Dirac.

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada inversa de Fourier para encontrar f(x) = 1raiz2pi integral-infty^+infty e^i p x g(p) , dp :
f(x) = 1raiz2pi ( A e^i x + B e^-i x )
Substituindo :

Passo 6

Usando a identidade de Euler, sabemos que f(x) = 1raiz2pi ( A (cos(x) + i sin(x)) + B (cos(x) - i sin(x)) ) e f(x) = 1raiz2pi ( (A + B) cos(x) + i (A - B) sin(x) ) . Então, substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Para que f(x) = C cos(x) seja uma função real, as constantes devem satisfazer que a parte imaginária seja zero, ou seja, f(x) = A cos(x) + B sin(x) (onde é o conjugado de ). Então, podemos definir e , onde é uma constante real. Assim, temos:
Além disso, podemos considerar uma solução geral que inclui a função seno:
Onde e são constantes reais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
f(x) = A cos(x) + B sin(x)
onde e são constantes reais.

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