Considere a equação diferencial ordinária de segunda ordem para a função
, a saber
Determine a solução geral da equação usando o Método da transformada de Fourier no contínuo e sua inversa apresentadas a seguir, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e transformadas de Fourier. Para resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Fourier contínua e sua inversa, conforme as fórmulas que foram dadas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial. A transformada de Fourier de
é
, onde
é a transformada de
. Então, aplicando a transformada na equação, temos:
Passo 3
Agora, simplificamos a equação:
Para que isso seja válido para todo
, a única solução possível é
, a não ser que
, o que acontece quando
.
Passo 4
Isso significa que a transformada de Fourier
é zero para todos os
exceto em
e
. Portanto, podemos escrever:
Onde
e
são constantes, e
é a função delta de Dirac.
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada inversa de Fourier para encontrar
:
Substituindo
:
Passo 6
Usando a identidade de Euler, sabemos que
e
. Então, substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Para que
seja uma função real, as constantes devem satisfazer que a parte imaginária seja zero, ou seja,
(onde
é o conjugado de
). Então, podemos definir
e
, onde
é uma constante real. Assim, temos:
Além disso, podemos considerar uma solução geral que inclui a função seno:
Onde
e
são constantes reais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes reais.