Considere a equação diferencial ordinária de segunda ordem para a função
, a saber
Determine a solução geral da equação através do Método de Frobenius, substituindo a função-incógnita por uma série de potências, i.e., use a solução tentativa a seguir para resolver a equação diferencial (1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando o Método de Frobenius. A equação dada é:
Vamos precisar substituir a função
por uma série de potências para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
como uma série de potências:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Para facilitar a comparação, ajustamos os índices das somas. Vamos fazer uma mudança de variável
na soma da esquerda:
Renomeando
de volta para
:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes de
de ambos os lados da equação:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
:
Passo 7
Vamos calcular alguns termos para entender o padrão. Começando com
e
como constantes arbitrárias:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes pares dependem de
e os ímpares de
.
Passo 8
Notamos que as séries obtidas são as expansões em série de Taylor das funções cosseno e seno:
Passo 9
Portanto, a solução geral da equação diferencial é uma combinação dessas duas soluções:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Sejam dadas três proposições
e
. Construa a tabela verdade para as seguintes proposições:
.
Considere a equação diferencial ordinária do oscilador harmônico forçado a seguir
Determine a solução geral da equação usando o Método da transformada de Fourier no contínuo e sua inversa apresentadas a seguir, respectivamente.
Considere a equação diferencial ordinária de segunda ordem para a função
, a saber
Determine a solução geral da equação usando o Método da transformada de Fourier no contínuo e sua inversa apresentadas a seguir, respectivamente.