Considere a equação diferencial ordinária de segunda ordem para a função f(x), a saber
d^2 f(x)d x^2=-f(x)
Determine a solução geral da equação através do Método de Frobenius, substituindo a função-incógnita por uma série de potências, i.e., use a solução tentativa a seguir para resolver a equação diferencial (1)
f(x)=sumn=0^infty an x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando o Método de Frobenius. A equação dada é:
d^2 f(x)d x^2 = -f(x)
Vamos precisar substituir a função por uma série de potências para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar f(x) = sumn=0^infty an x^n como uma série de potências:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de f'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
f''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 4

Substituímos sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 = -sumn=0^infty an x^n e na equação diferencial original:

Passo 5

Para facilitar a comparação, ajustamos os índices das somas. Vamos fazer uma mudança de variável sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k = -sumn=0^infty an x^n na soma da esquerda:
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n = -sumn=0^infty an x^n
Renomeando de volta para :

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes de (n+2)(n+1) an+2 = -an de ambos os lados da equação:
an+2 = -an(n+2)(n+1)
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes :

Passo 7

Vamos calcular alguns termos para entender o padrão. Começando com a2 = -a02 cdot 1 = -a02 e a3 = -a13 cdot 2 = -a16 como constantes arbitrárias:
  • Para a4 = -a24 cdot 3 = a024 :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. Observamos que os coeficientes pares dependem de e os ímpares de .

Passo 8

Notamos que as séries obtidas são as expansões em série de Taylor das funções cosseno e seno:
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!

Passo 9

Portanto, a solução geral da equação diferencial é uma combinação dessas duas soluções:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
f(x) = a0 cos(x) + a1 sin(x)

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