As raízes da equação característica de uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem, com coeficientes constantes, são r1 = -2, r2 = 3, r3 = 1 + 2i e r4 = 1 - 2i. Qual é a solução geral dessa equação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes. A coisa que a gente sabe são as raízes da equação característica: , , e . Nossa missão aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar saber como as raízes influenciam na forma da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para cada raiz real distinta da equação característica, a solução geral tem um termo exponencial da forma , onde é a raiz.

Passo 3

Então, para a raiz , a gente tem um termo na solução: .

Passo 4

Da mesma forma, para a raiz , temos outro termo: .

Passo 5

Agora, quando temos raízes complexas conjugadas, como e , a solução geral inclui senos e cossenos. A fórmula para essas raízes é:
onde é a parte real e é a parte imaginária da raiz complexa.

Passo 6

No nosso caso, e . Assim, a contribuição das raízes complexas para a solução geral é:

Resposta

Juntando todos os termos, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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