As raízes da equação característica de uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem, com coeficientes constantes, são
e
. Qual é a solução geral dessa equação?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes. A coisa que a gente sabe são as raízes da equação característica:
,
,
e
. Nossa missão aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar saber como as raízes influenciam na forma da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para cada raiz real distinta da equação característica, a solução geral tem um termo exponencial da forma
, onde
é a raiz.
Passo 3
Então, para a raiz
, a gente tem um termo na solução:
.
Passo 4
Da mesma forma, para a raiz
, temos outro termo:
.
Passo 5
Agora, quando temos raízes complexas conjugadas, como
e
, a solução geral inclui senos e cossenos. A fórmula para essas raízes é:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária da raiz complexa.
Passo 6
No nosso caso,
e
. Assim, a contribuição das raízes complexas para a solução geral é:
Resposta
Juntando todos os termos, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial
O método de redução de ordem consiste em conhecida uma solução particular
da EDO fornecida, encontrar uma solução particular
, a partir de
, que seja linearmente independente de
. Ou seja, determinar uma função
não constante tal que
seja solução da equação dada. Mostre que ao utilizarmos esse método para resolver
a partir da sua conhecida solução particular
, encontraremos outra solução da forma:
Verifique que
forma um conjunto linearmente independente de funções em todo intervalo em que
. Use a fórmula (
) para encontrar uma solução da equação
dado que
é uma das suas soluções particulares em
.
Resolva os seguintes problemas.
c) Um circuito em série consiste em um resistor com resistência , um indutor com indutância
, um capacitor com capacitância
e uma bateria de
volts. Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0 , encontre a carga e a corrente no instante
quando
volts. O que acontece quando
? Explique.
c) Um circuito em série consiste em um resistor com resistência
Considere a equação diferencial
Mostre que
e
são soluções linearmente independentes desta equação, qualquer que seja
. No entanto,
, para todo
.
Questão 4 (1,0 pt) - Resolva a equação diferencial
, que satisfaça a condição
e determine o valor da constante
.