As raízes da equação característica de uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem, com coeficientes constantes, são
e
. Qual é a solução geral dessa equação?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes. A coisa que a gente sabe são as raízes da equação característica:
,
,
e
. Nossa missão aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar saber como as raízes influenciam na forma da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para cada raiz real distinta da equação característica, a solução geral tem um termo exponencial da forma
, onde
é a raiz.
Passo 3
Então, para a raiz
, a gente tem um termo na solução:
.
Passo 4
Da mesma forma, para a raiz
, temos outro termo:
.
Passo 5
Agora, quando temos raízes complexas conjugadas, como
e
, a solução geral inclui senos e cossenos. A fórmula para essas raízes é:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária da raiz complexa.
Passo 6
No nosso caso,
e
. Assim, a contribuição das raízes complexas para a solução geral é:
Resposta
Juntando todos os termos, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.