Considere a equação diferencial
y^prime prime+P(x) y^prime+Q(x) y=0
O método de redução de ordem consiste em conhecida uma solução particular y1 da EDO fornecida, encontrar uma solução particular y2, a partir de y1, que seja linearmente independente de y1. Ou seja, determinar uma função u=u(x) não constante tal que y2(x)=u y1(x) seja solução da equação dada. Mostre que ao utilizarmos esse método para resolver y^prime prime+P(x) y^prime+Q(x) y=0 a partir da sua conhecida solução particular y1=y1(x), encontraremos outra solução da forma:
(star) y2(x)=y1(x) integral e^-integral P(x) d xy1^2(x) d x
Verifique que y1, y2 forma um conjunto linearmente independente de funções em todo intervalo em que y1 neq 0. Use a fórmula ( star ) para encontrar uma solução da equação x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0 dado que y1=x^2 é uma das suas soluções particulares em (-infty,+infty).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando o método de redução de ordem. A gente já conhece uma solução específica y2(x) = y1(x) integral e^-integral P(x) dxy1^2(x) dx e precisamos encontrar outra solução que seja linearmente independente de . Para isso, vamos usar a fórmula fornecida:
Vamos precisar entender como aplicar essa fórmula para a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes x^2 y'' - 3x y' + 4 y = 0 e y'' - 3x y' + 4x^2 y = 0 na equação diferencial fornecida:
P(x) = -3x e Q(x) = 4x^2
Para colocarmos na forma padrão , dividimos toda a equação por :
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para integral P(x) dx = integral -3x dx = -3 ln|x| + C . Precisamos calcular e^-integral P(x) dx = e^3 ln|x| = |x|^3 e .
Primeiro, calculemos :
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar para simplificar:
Como estamos trabalhando em e , podemos simplificar para .

Passo 4

Em seguida, calculamos y1(x) = x^2 Rightarrow y1^2(x) = (x^2)^2 = x^4 :

Passo 5

Agora, substituímos esses resultados na fórmula para y2(x) = y1(x) integral e^-integral P(x) dxy1^2(x) dx = x^2 integral x^3x^4 dx = x^2 integral 1x dx :
x^3x^4 = 1x
Simplificando a fração dentro da integral:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral:
integral 1x dx = ln|x| + C
Novamente, podemos ignorar a constante integral 1x dx = ln|x| na solução geral, então:

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na expressão para y2(x) = x^2 cdot ln|x| :
y2(x) = x^2 ln|x| ou simp<=smente y2(x) = x^2 ln x
Como estamos considerando em , podemos escrever:

Resposta

A segunda solução da equação y2(x) = x^2 ln x é:

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