Considere a equação diferencial
O método de redução de ordem consiste em conhecida uma solução particular da EDO fornecida, encontrar uma solução particular , a partir de , que seja linearmente independente de . Ou seja, determinar uma função não constante tal que seja solução da equação dada. Mostre que ao utilizarmos esse método para resolver a partir da sua conhecida solução particular , encontraremos outra solução da forma:
Verifique que forma um conjunto linearmente independente de funções em todo intervalo em que . Use a fórmula ( ) para encontrar uma solução da equação dado que é uma das suas soluções particulares em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando o método de redução de ordem. A gente já conhece uma solução específica e precisamos encontrar outra solução que seja linearmente independente de . Para isso, vamos usar a fórmula fornecida:
Vamos precisar entender como aplicar essa fórmula para a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes e na equação diferencial fornecida:
Para colocarmos na forma padrão , dividimos toda a equação por :
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para . Precisamos calcular e .
Primeiro, calculemos :
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar para simplificar:
Como estamos trabalhando em e , podemos simplificar para .

Passo 4

Em seguida, calculamos :

Passo 5

Agora, substituímos esses resultados na fórmula para :
Simplificando a fração dentro da integral:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral:
Novamente, podemos ignorar a constante na solução geral, então:

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na expressão para :
Como estamos considerando em , podemos escrever:

Resposta

A segunda solução da equação é:

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes problemas.
c) Um circuito em série consiste em um resistor com resistência , um indutor com indutância , um capacitor com capacitância e uma bateria de volts. Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0 , encontre a carga e a corrente no instante quando volts. O que acontece quando ? Explique.
Sejam e constantes reais. Determine a EDO linear homogênea, com coeficientes constantes e de ordem três, cuja solução geral é
As raízes da equação característica de uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem, com coeficientes constantes, são e . Qual é a solução geral dessa equação?
Considere a equação diferencial
Mostre que e são soluções linearmente independentes desta equação, qualquer que seja . No entanto, , para todo .