Considere a equação diferencial
O método de redução de ordem consiste em conhecida uma solução particular
da EDO fornecida, encontrar uma solução particular
, a partir de
, que seja linearmente independente de
. Ou seja, determinar uma função
não constante tal que
seja solução da equação dada. Mostre que ao utilizarmos esse método para resolver
a partir da sua conhecida solução particular
, encontraremos outra solução da forma:
Verifique que
forma um conjunto linearmente independente de funções em todo intervalo em que
. Use a fórmula (
) para encontrar uma solução da equação
dado que
é uma das suas soluções particulares em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando o método de redução de ordem. A gente já conhece uma solução específica
e precisamos encontrar outra solução
que seja linearmente independente de
. Para isso, vamos usar a fórmula fornecida:
Vamos precisar entender como aplicar essa fórmula para a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes
e
na equação diferencial fornecida:
Para colocarmos na forma padrão
, dividimos toda a equação por
:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para
. Precisamos calcular
e
.
Primeiro, calculemos
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar para simplificar:
Como estamos trabalhando em
e
, podemos simplificar para
.
Passo 4
Em seguida, calculamos
:
Passo 5
Agora, substituímos esses resultados na fórmula para
:
Simplificando a fração dentro da integral:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral:
Novamente, podemos ignorar a constante
na solução geral, então:
Passo 7
Finalmente, substituímos de volta na expressão para
:
Como estamos considerando
em
, podemos escrever:
Resposta
A segunda solução da equação
é:
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Resolva os seguintes problemas.
c) Um circuito em série consiste em um resistor com resistência , um indutor com indutância
, um capacitor com capacitância
e uma bateria de
volts. Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0 , encontre a carga e a corrente no instante
quando
volts. O que acontece quando
? Explique.
c) Um circuito em série consiste em um resistor com resistência
Sejam
e
constantes reais. Determine a EDO linear homogênea, com coeficientes constantes e de ordem três, cuja solução geral é
As raízes da equação característica de uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem, com coeficientes constantes, são
e
. Qual é a solução geral dessa equação?
Considere a equação diferencial
Mostre que
e
são soluções linearmente independentes desta equação, qualquer que seja
. No entanto,
, para todo
.