Resolva a equação diferencial e determine a função .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que foi dada. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação que relaciona , sua derivada primeira e sua derivada segunda . Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais e entender como manipular essas derivadas para encontrar a função .
Passo 2
Vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação. A equação dada é:
Primeiro, podemos subtrair de ambos os lados para reunir os termos:
Isso nos dá uma equação mais simples para trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos tentar simplificar a equação utilizando uma substituição. Vamos chamar . Dessa forma, a derivada de em relação a é .
Substituindo na equação, temos:
Isso transforma a equação original em uma equação diferencial de primeira ordem em termos de e .
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Neste ponto, percebemos que a equação ainda envolve tanto quanto , o que sugere que precisamos de uma relação entre e para avançar.
Passo 5
Observando que , podemos reescrever como . Isso nos permite reescrever a equação em termos de e :
Agora, temos uma equação separável, que podemos resolver integrando ambos os lados.
Passo 6
Vamos separar as variáveis e :
Podemos simplificar o lado esquerdo fatorando o denominador:
Então, a integral fica:
Simplificando a fração:
Passo 7
Agora, resolvemos as integrais. Primeiro, a integral da esquerda:
Podemos decompor em frações parciais:
Então,
A integral da direita é:
Igualando as duas expressões:
Podemos combinar os logaritmos:
Passo 8
Para simplificar, vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
onde é uma constante.
Rearranjando para resolver :
Lembrando que , temos:
Passo 9
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver para . Vamos separar as variáveis:
Rearranjando:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Passo 10
Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições iniciais fornecidas: