Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações lineares e métodos para encontrar a solução geral. Vamos dividir a solução em partes: encontrar a solução da equação homogênea e depois achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, isolamos os termos com e para facilitar a aplicação das técnicas de resolução.

Passo 3

Agora, vamos considerar a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, podemos usar uma substituição. Vamos definir:
Então, , e a equação homogênea fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para .

Passo 4

Vamos resolver para usando um fator integrante. A equação está na forma:
Onde .
O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral.

Passo 5

Calculando a integral no expoente:
Então,

Passo 6

Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Agora, integramos para encontrar :
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Vamos definir:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então,
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Simplificando a expressão:
Aqui, e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se fornecidas.

Passo 10

Agora, encontramos a solução geral da equação homogênea. Mas ainda precisamos considerar a solução particular da equação original:
Observando a equação, uma solução particular simples é . Vamos verificar:
Calculando e :
Para satisfazer a equação, precisamos ajustar a solução particular. Podemos tentar uma solução constante .
Substituindo na equação:
Isso não funciona. Então, vamos tentar uma solução linear .
Calculando e , substituindo na equação:
Para isso ser verdade para todo , precisamos que , ou seja, . Então, a solução particular é .
Substituindo novamente:
Portanto, é uma solução particular.

Passo 11

Finalmente, combinamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular:
Aqui, e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução .
Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da função .
Considere a equação diferencial de segunda ordem:
Resolva a equação diferencial e determine a função .