Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações lineares e métodos para encontrar a solução geral. Vamos dividir a solução em partes: encontrar a solução da equação homogênea e depois achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, isolamos os termos com
e
para facilitar a aplicação das técnicas de resolução.
Passo 3
Agora, vamos considerar a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, podemos usar uma substituição. Vamos definir:
Então,
, e a equação homogênea fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 4
Vamos resolver para
usando um fator integrante. A equação está na forma:
Onde
.
O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular essa integral.
Passo 5
Calculando a integral no expoente:
Então,
Passo 6
Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, integramos
para encontrar
:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Vamos definir:
-
então -
então
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então,
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Simplificando a expressão:
Aqui,
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se fornecidas.
Passo 10
Agora, encontramos a solução geral da equação homogênea. Mas ainda precisamos considerar a solução particular da equação original:
Observando a equação, uma solução particular simples é
. Vamos verificar:
Calculando
e
:
Para satisfazer a equação, precisamos ajustar a solução particular. Podemos tentar uma solução constante
.
Substituindo na equação:
Isso não funciona. Então, vamos tentar uma solução linear
.
Calculando
e
, substituindo na equação:
Para isso ser verdade para todo
, precisamos que
, ou seja,
. Então, a solução particular é
.
Substituindo novamente:
Portanto,
é uma solução particular.
Passo 11
Finalmente, combinamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular:
Aqui,
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.