Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma. sumn=1^infty cos (n pi2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para decidir se a série é convergente. Se for, também calcular sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da série. A expressão varia conforme o valor de .
Vamos calcular alguns termos para identificar o padrão:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…
Percebe-se que os termos da série alternam entre 0, -1, 0, 1, repetidamente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma parcial da série, ou seja, a soma dos primeiros termos, onde tende ao infinito.
Calculando algumas somas parciais:
  • E assim por diante…
Observamos que as somas parciais alternam entre -1 e 0, sem se aproximar de um valor único conforme aumenta.

Passo 4

Para uma série ser convergente, as suas somas parciais devem se aproximar de um único número quando o número de termos tende ao infinito. No nosso caso, as somas parciais não se estabilizam em um único valor, mas sim continuam alternando entre -1 e 0.

Resposta

Portanto, a série não é convergente.

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