Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para decidir se a série
é convergente. Se for, também calcular sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos da série. A expressão
varia conforme o valor de
.
Vamos calcular alguns termos para identificar o padrão:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Percebe-se que os termos da série alternam entre 0, -1, 0, 1, repetidamente.
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma parcial da série, ou seja, a soma dos primeiros
termos, onde
tende ao infinito.
Calculando algumas somas parciais:
-
-
-
-
-
-
- E assim por diante…
Observamos que as somas parciais alternam entre -1 e 0, sem se aproximar de um valor único conforme
aumenta.
Passo 4
Para uma série ser convergente, as suas somas parciais devem se aproximar de um único número quando o número de termos tende ao infinito. No nosso caso, as somas parciais não se estabilizam em um único valor, mas sim continuam alternando entre -1 e 0.
Resposta
Portanto, a série
não é convergente.