Resolva a equação diferencial e determine a solução .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a equação diferencial . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais lineares. Vamos precisar integrar a equação algumas vezes para chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Observando isso, percebemos que o lado esquerdo da equação pode ser escrito como a derivada de . Ou seja:
Essa observação simplifica muito as coisas porque agora temos uma equação mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá , e a do lado direito é , onde é uma constante de integração. Então temos:
Passo 4
Vamos resolver para dividindo ambos os lados por :
Agora, temos uma expressão para a segunda derivada de .
Passo 5
Vamos integrar para encontrar :
Aqui, é outra constante de integração. A integral de é .
Passo 6
Agora, vamos integrar para encontrar :
Aqui, é mais uma constante de integração. Simplificamos a integral de usando partes e a de é direta.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão final combinando os termos semelhantes:
Podemos renomear como uma nova constante para deixar a solução mais enxuta.