Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a equação diferencial
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais lineares. Vamos precisar integrar a equação algumas vezes para chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Observando isso, percebemos que o lado esquerdo da equação pode ser escrito como a derivada de
. Ou seja:
Essa observação simplifica muito as coisas porque agora temos uma equação mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá
, e a do lado direito é
, onde
é uma constante de integração. Então temos:
Passo 4
Vamos resolver para
dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos uma expressão para a segunda derivada de
.
Passo 5
Vamos integrar
para encontrar
:
Aqui,
é outra constante de integração. A integral de
é
.
Passo 6
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Aqui,
é mais uma constante de integração. Simplificamos a integral de
usando partes e a de
é direta.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão final combinando os termos semelhantes:
Podemos renomear
como uma nova constante
para deixar a solução mais enxuta.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
,
e
são constantes arbitrárias.