Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da função z = raiz(x^2 + y^2) + 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender como plotar curvas em 3D e interpretar o que cada parte da função representa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são curvas no plano onde a função assume um valor constante. Basicamente, escolhemos diferentes valores de e vemos quais pontos satisfazem a equação da função para esse valor de .

Passo 3

Vamos escolher alguns valores de para desenhar as curvas de nível. Vamos dizer que , onde é um número constante maior que 2 (porque é sempre não negativa, então ).
Substituindo na função:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

A equação representa um círculo no plano com raio e centro na origem . Portanto, para cada valor de , temos uma curva de nível que é um círculo com raio dependendo de .

Passo 6

Vamos escolher alguns valores específicos para e desenhar as correspondentes curvas de nível:
  • Para :
    Então, o círculo tem raio 1.
  • Para :
    Círculo com raio 2.
  • Para :
    Círculo com raio 3.

Passo 7

Com esses círculos desenhados no plano , podemos agora esboçar o gráfico da função . Essa função representa uma superfície que se assemelha a um cone com o vértice deslocado para cima no ponto . À medida que e aumentam, também aumenta, mantendo a forma de cone.

Passo 8

Para resumir, as curvas de nível são círculos concêntricos com raios aumentando conforme aumenta, e o gráfico da função é um cone com vértice no ponto .

Resposta

As curvas de nível da função são círculos concêntricos no plano com raios . O gráfico da função é um cone com vértice no ponto , se estendendo para cima conforme e aumentam.

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