Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender como plotar curvas em 3D e interpretar o que cada parte da função representa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são curvas no plano
onde a função
assume um valor constante. Basicamente, escolhemos diferentes valores de
e vemos quais pontos
satisfazem a equação da função para esse valor de
.
Passo 3
Vamos escolher alguns valores de
para desenhar as curvas de nível. Vamos dizer que
, onde
é um número constante maior que 2 (porque
é sempre não negativa, então
).
Substituindo na função:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
A equação
representa um círculo no plano
com raio
e centro na origem
. Portanto, para cada valor de
, temos uma curva de nível que é um círculo com raio dependendo de
.
Passo 6
Vamos escolher alguns valores específicos para
e desenhar as correspondentes curvas de nível:
-
Para
: Então, o círculo tem raio 1. -
Para
: Círculo com raio 2. -
Para
: Círculo com raio 3.
Passo 7
Com esses círculos desenhados no plano
, podemos agora esboçar o gráfico da função
. Essa função representa uma superfície que se assemelha a um cone com o vértice deslocado para cima no ponto
. À medida que
e
aumentam,
também aumenta, mantendo a forma de cone.
Passo 8
Para resumir, as curvas de nível são círculos concêntricos com raios aumentando conforme
aumenta, e o gráfico da função é um cone com vértice no ponto
.
Resposta
As curvas de nível da função
são círculos concêntricos no plano
com raios
. O gráfico da função é um cone com vértice no ponto
, se estendendo para cima conforme
e
aumentam.