Resolva a equação diferencial e determine a função y(x).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que foi dada. A equação é:
l y , y'' + (y')^2 = (y')^3 y(0) = 1 y'(0) = 1
Aqui, estamos lidando com uma equação que relaciona , sua derivada primeira e sua derivada segunda . Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais e entender como manipular essas derivadas para encontrar a função .
Passo 2
Vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação. A equação dada é:
y , y'' + (y')^2 = (y')^3
Primeiro, podemos subtrair y , y'' + (y')^2 - (y')^3 = 0 de ambos os lados para reunir os termos:
Isso nos dá uma equação mais simples para trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos tentar simplificar a equação utilizando uma substituição. Vamos chamar y , p' + p^2 - p^3 = 0 . Dessa forma, a derivada de em relação a é .
Substituindo na equação, temos:
Isso transforma a equação original em uma equação diferencial de primeira ordem em termos de e .
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar y , p' = p^3 - p^2 :
p' = p^3 - p^2y
Dividindo ambos os lados por :
Neste ponto, percebemos que a equação ainda envolve tanto quanto , o que sugere que precisamos de uma relação entre e para avançar.
Passo 5
Observando que p cdot dpdy = p^3 - p^2y , podemos reescrever como . Isso nos permite reescrever a equação em termos de e :
Agora, temos uma equação separável, que podemos resolver integrando ambos os lados.
Passo 6
Vamos separar as variáveis pp^3 - p^2 , dp = 1y , dy e p^3 - p^2 = p^2 (p - 1) :
integral pp^2 (p - 1) , dp = integral 1y , dy
Podemos simplificar o lado esquerdo fatorando o denominador:
pp^2 (p - 1) = 1p (p - 1)
Então, a integral fica:
Simplificando a fração:
Passo 7
Agora, resolvemos as integrais. Primeiro, a integral da esquerda:
integral 1p (p - 1) , dp
Podemos decompor em frações parciais:
1p (p - 1) = -1p + 1p - 1
Então,
integral ( -1p + 1p - 1 ) , dp = -ln|p| + ln|p - 1| + C
A integral da direita é:
integral 1y , dy = ln|y| + C
Igualando as duas expressões:
- ln|p| + ln|p - 1| = ln|y| + C
Podemos combinar os logaritmos:
ln( p - 1p ) = ln|y| + C
Passo 8
Para simplificar, vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
p - 1p = K y
onde p - 1 = K y p é uma constante.
Rearranjando para resolver p (1 - K y) = 1 :
p = 11 - K y
y' = 11 - K y
Lembrando que , temos:
Passo 9
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver para 1 - K y , dy = dx . Vamos separar as variáveis:
(1 - K y) , dy = dx
Rearranjando:
integral (1 - K y) , dy = integral dx
Integrando ambos os lados:
y - K2 y^2 = x + C
Isso resulta em:
Passo 10
Agora, precisamos determinar as constantes 1 - K2 (1)^2 = 0 + C e C = 1 - K2 usando as condições iniciais fornecidas:
y' = 11 - K y
1 = 11 - K (1)
Primeiro, substituímos 1 - K = 1 e na equação:
Então:
Agora, usamos a condição . Sabemos que:
Substituindo e :
Então:
Isso implica que .
Resposta
Com y = x + 1 e y(x) = x + 1 , a equação simplifica para: