Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma para fixo. Determine uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando ? (Observação. ned não está definido)
a ned e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos dá uma equação do segundo grau em e nos diz que a solução tem a forma . Nosso objetivo é encontrar uma solução específica para essa equação e entender como ela se comporta quando vai para o infinito. Para isso, vamos precisar derivar , substituir na equação original e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma . Para substituir na equação diferencial, precisamos calcular as derivadas de .
Calculando a primeira derivada de :
Calculando a segunda derivada de :

Passo 3

Agora que temos , e , vamos substituir na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:
Podemos fatorar da equação:
Simplificando os termos:
Como nunca é zero, o termo dentro dos parênteses deve ser igual a zero:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para :
Dividindo todos os termos por 9:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os valores de são complexos: e .

Passo 5

Como os valores de são complexos, a solução geral da equação diferencial será combinada, usando a forma de Euler para funções exponenciais complexas:
Onde e são constantes reais.

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento da solução quando tende ao infinito. Observamos o termo exponencial . Conforme aumenta, cresce rapidamente, e como o coeficiente é negativo, tende a zero. Isso significa que toda a solução também tende a zero quando vai para mais infinito.

Resposta

Uma solução qualquer da equação diferencial é
Quando , temos que tende a zero. Portanto, a alternativa correta é que .

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gira em torno do eixo .
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(b) 3 e 2