Considere a equação diferencial
t d^2 yd t^2+(-2+18 t^3) d yd t+90 t^5 y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^3 para r fixo. Determine y(t) uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty ? (Observação. ned = não está definido)
a lim t +infty e^4 t^3 y(t) ned e lim t +infty e^3 t^3 y(t)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos dá uma equação do segundo grau em e nos diz que a solução tem a forma . Nosso objetivo é encontrar uma solução específica para essa equação e entender como ela se comporta quando vai para o infinito. Para isso, vamos precisar derivar , substituir na equação original e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma y'(t) = ddt e^r t^3 = e^r t^3 cdot 3 r t^2 . Para substituir na equação diferencial, precisamos calcular as derivadas de y''(t) = ddt ( e^r t^3 cdot 3 r t^2 ) = e^r t^3 cdot (9 r^2 t^4 + 6 r t) .
Calculando a primeira derivada de :
Calculando a segunda derivada de :

Passo 3

Agora que temos t y'' + (-2 + 18 t^3) y' + 90 t^5 y = 0 , t cdot e^r t^3 (9 r^2 t^4 + 6 r t) + (-2 + 18 t^3) cdot e^r t^3 cdot 3 r t^2 + 90 t^5 cdot e^r t^3 = 0 e e^r t^3 ( 9 r^2 t^5 + 6 r t^2 - 6 r t^2 + 54 r t^5 + 90 t^5 ) = 0 , vamos substituir na equação diferencial original:
e^r t^3 ( (9 r^2 + 54 r + 90) t^5 ) = 0
Substituindo as derivadas:
9 r^2 + 54 r + 90 = 0
Podemos fatorar da equação:
Simplificando os termos:
Como nunca é zero, o termo dentro dos parênteses deve ser igual a zero:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para 9 r^2 + 54 r + 90 = 0 :
r^2 + 6 r + 10 = 0
Dividindo todos os termos por 9:
r = -6 pm raiz36 - 402 = -6 pm raiz-42 = -3 pm i
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os valores de são complexos: e .

Passo 5

Como os valores de y(t) = e^-3 t^3 ( C1 cos(t^3) + C2 sin(t^3) ) são complexos, a solução geral da equação diferencial será combinada, usando a forma de Euler para funções exponenciais complexas:
Onde e são constantes reais.

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento da solução quando tende ao infinito. Observamos o termo exponencial . Conforme aumenta, cresce rapidamente, e como o coeficiente é negativo, tende a zero. Isso significa que toda a solução também tende a zero quando vai para mais infinito.

Resposta

Uma solução qualquer da equação diferencial é
y(t) = e^-3 t^3 ( C1 cos(t^3) + C2 sin(t^3) )
Quando , temos que tende a zero. Portanto, a alternativa correta é que .

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