Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Determine
uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
? (Observação. ned
não está definido)
a
ned e
.
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos dá uma equação do segundo grau em
e nos diz que a solução tem a forma
. Nosso objetivo é encontrar uma solução específica para essa equação e entender como ela se comporta quando
vai para o infinito. Para isso, vamos precisar derivar
, substituir na equação original e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma
. Para substituir na equação diferencial, precisamos calcular as derivadas de
.
Calculando a primeira derivada de
:
Calculando a segunda derivada de
:
Passo 3
Agora que temos
,
e
, vamos substituir na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:
Podemos fatorar
da equação:
Simplificando os termos:
Como
nunca é zero, o termo dentro dos parênteses deve ser igual a zero:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática para
:
Dividindo todos os termos por 9:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os valores de
são complexos:
e
.
Passo 5
Como os valores de
são complexos, a solução geral da equação diferencial será combinada, usando a forma de Euler para funções exponenciais complexas:
Onde
e
são constantes reais.
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento da solução quando
tende ao infinito. Observamos o termo exponencial
. Conforme
aumenta,
cresce rapidamente, e como o coeficiente é negativo,
tende a zero. Isso significa que toda a solução
também tende a zero quando
vai para mais infinito.
Resposta
Uma solução qualquer da equação diferencial é
Quando
, temos que
tende a zero. Portanto, a alternativa correta é que
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das funções vetoriais abaixo.
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfíces abaixo
O cilindro e o plano
;
O cilindro
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região acima do eixo
e abaixo da elipse
gira em torno do eixo
.
O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
(b) 3 e 2
(b) 3 e 2