O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
(b) 3 e 2
(b) 3 e 2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o máximo e o mínimo da função
na região delimitada por um triângulo com vértices em
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente a busca por extremos em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região triangular. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos verificar se esse ponto está dentro da região triangular. Nosso triângulo tem vértices em
,
e
. O ponto
está dentro desse triângulo porque as coordenadas
e
são ambas positivas e a soma
, que está na fronteira do triângulo.
Passo 5
Agora, calculamos o valor da função nesse ponto crítico:
Então,
.
Passo 6
Além dos pontos internos, precisamos verificar os valores da função nas fronteiras do triângulo, pois os extremos podem ocorrer lá também. As fronteiras são os lados do triângulo:
- Lado 1: entre
e onde . - Lado 2: entre
e onde . - Lado 3: entre
e onde .
Vamos analisar cada lado separadamente.
Passo 7
Lado 1:
Substituindo
na função:
Para encontrar os extremos nesse intervalo
, derivamos em relação a
:
Igualando a zero:
Calculamos o valor da função em
:
Além disso, verificamos os extremos nos pontos finais:
Passo 8
Lado 2:
Substituindo
na função:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Calculamos o valor da função em
:
Verificamos os extremos nos pontos finais:
Passo 9
Lado 3:
Substituindo
na função:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Calculamos o valor da função em
:
Também verificamos os extremos nos pontos finais:
Passo 10
Agora, vamos resumir os valores encontrados:
- Ponto interno
: - Lado 1:
-
: -
: -
:
-
- Lado 2:
-
: -
: -
:
-
- Lado 3:
-
: -
: -
:
-
Resposta
O máximo de
na região é 3 e o mínimo é 2.
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e abaixo da elipse
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.
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não está definido)
a ned e
.
a
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51. eixo
51.
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