O máximo e o mínimo de f(x, y) = 2*x^2 + 2*y^2 - 2*x - 2*y + 3 na região delimitada pelo triângulo de vertíces (0,0),(1,0) e 0,1 são respectivamente:
(b) 3 e 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o máximo e o mínimo da função na região delimitada por um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente a busca por extremos em regiões fechadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região triangular. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos verificar se esse ponto está dentro da região triangular. Nosso triângulo tem vértices em , e . O ponto está dentro desse triângulo porque as coordenadas e são ambas positivas e a soma , que está na fronteira do triângulo.

Passo 5

Agora, calculamos o valor da função nesse ponto crítico:
Então, .

Passo 6

Além dos pontos internos, precisamos verificar os valores da função nas fronteiras do triângulo, pois os extremos podem ocorrer lá também. As fronteiras são os lados do triângulo:
  1. Lado 1: entre e onde .
  2. Lado 2: entre e onde .
  3. Lado 3: entre e onde .
Vamos analisar cada lado separadamente.

Passo 7

Lado 1:
Substituindo na função:
Para encontrar os extremos nesse intervalo , derivamos em relação a :
Igualando a zero:
Calculamos o valor da função em :
Além disso, verificamos os extremos nos pontos finais:

Passo 8

Lado 2:
Substituindo na função:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Calculamos o valor da função em :
Verificamos os extremos nos pontos finais:
á

Passo 9

Lado 3:
Substituindo na função:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Calculamos o valor da função em :
Também verificamos os extremos nos pontos finais:
á
á

Passo 10

Agora, vamos resumir os valores encontrados:
  • Ponto interno :
  • Lado 1:
    • :
    • :
    • :
  • Lado 2:
    • :
    • :
    • :
  • Lado 3:
    • :
    • :
    • :

Resposta

O máximo de na região é 3 e o mínimo é 2.

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