Encontre o volume do sólido que resulta quando a região acima do eixo x e abaixo da elipse
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)
gira em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta quando a região acima do eixo e abaixo da elipse
gira em torno do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, especificamente a fórmula do volume de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a elipse dada pela equação . A gente pode isolar para encontrar a função que descreve a parte superior da elipse:
Essa é a função que vamos girar em torno do eixo .

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido de revolução, usamos a fórmula do método dos discos:
Mas como estamos considerando apenas a região acima do eixo , podemos integrar de 0 a e multiplicar por 2.

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

O volume do sólido é .

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