Determine o domínio das funções vetoriais abaixo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o domínio da função vetorial . Em outras palavras, queremos achar os valores de para os quais cada componente da função está bem definida. Para isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o componente . A raiz cúbica é definida para todos os números reais, ou seja, não impõe restrições sobre o valor de . Portanto, não precisamos nos preocupar com esse termo na hora de determinar o domínio.

Passo 3

Segundo, temos , que é o logaritmo natural. O logaritmo só está definido para números positivos, então a expressão dentro do logaritmo, , precisa ser maior que zero:
Isso significa que deve ser maior que -1 para que o logaritmo exista.

Passo 4

Por fim, analisamos . A função exponencial é válida para qualquer número real, mas dentro dela temos a raiz quadrada de , ou seja, . A raiz quadrada só está definida para :
Portanto, deve ser maior ou igual a 0 para que essa parte da função esteja definida.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem todas as condições simultaneamente. Ou seja, o valor de deve ser maior que -1 e, ao mesmo tempo, maior ou igual a 0. A interseção dessas condições é:
Isso ocorre porque já satisfaz .

Resposta

O domínio da função vetorial é .

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Prove por indução finita: .
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