Determine o domínio das funções vetoriais abaixo.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o domínio da função vetorial
. Em outras palavras, queremos achar os valores de
para os quais cada componente da função está bem definida. Para isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o componente
. A raiz cúbica é definida para todos os números reais, ou seja, não impõe restrições sobre o valor de
. Portanto, não precisamos nos preocupar com esse termo na hora de determinar o domínio.
Passo 3
Segundo, temos
, que é o logaritmo natural. O logaritmo só está definido para números positivos, então a expressão dentro do logaritmo,
, precisa ser maior que zero:
Isso significa que
deve ser maior que -1 para que o logaritmo exista.
Passo 4
Por fim, analisamos
. A função exponencial é válida para qualquer número real, mas dentro dela temos a raiz quadrada de
, ou seja,
. A raiz quadrada só está definida para
:
Portanto,
deve ser maior ou igual a 0 para que essa parte da função esteja definida.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem todas as condições simultaneamente. Ou seja, o valor de
deve ser maior que -1 e, ao mesmo tempo, maior ou igual a 0. A interseção dessas condições é:
Isso ocorre porque
já satisfaz
.
Resposta
O domínio da função vetorial é
.