Determine a equação da curva sabendo que a mesma passa pelo ponto
e que a inclinação da reta tangente em um ponto
é igual à soma da abscissa e da ordenada desse ponto.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma curva que passa pelo ponto
. Além disso, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
dessa curva é igual à soma das coordenadas
e
desse ponto. Para resolver isso, vamos usar o que a gente sabe sobre equações diferenciais, que relacionam uma função com suas derivadas. Vamos precisar entender como a derivada representa a inclinação da reta tangente e como resolver uma equação diferencial simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto qualquer é dada pela derivada da função
em relação a
, ou seja,
. A questão nos diz que essa inclinação é igual à soma de
e
. Então, podemos escrever isso matematicamente como:
Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar a função
.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente pode usar o método do fator integrante. Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral à direita pode ser resolvida por integração por partes. Vamos chamar
e
. Então,
e
. Aplicando a fórmula:
Portanto:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial que a curva passa pelo ponto
. Substituindo
e
na equação:
Substituindo
na equação geral:
Resposta
A equação da curva é
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Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
2.
2.
Mostre que a função
satisfaz a equação da onda: