Determine a equação da curva sabendo que a mesma passa pelo ponto e que a inclinação da reta tangente em um ponto é igual à soma da abscissa e da ordenada desse ponto.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma curva que passa pelo ponto . Além disso, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto dessa curva é igual à soma das coordenadas e desse ponto. Para resolver isso, vamos usar o que a gente sabe sobre equações diferenciais, que relacionam uma função com suas derivadas. Vamos precisar entender como a derivada representa a inclinação da reta tangente e como resolver uma equação diferencial simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto qualquer é dada pela derivada da função em relação a , ou seja, . A questão nos diz que essa inclinação é igual à soma de e . Então, podemos escrever isso matematicamente como:
Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar a função .

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente pode usar o método do fator integrante. Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral à direita pode ser resolvida por integração por partes. Vamos chamar e . Então, e . Aplicando a fórmula:
Portanto:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Simplificando:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial que a curva passa pelo ponto . Substituindo e na equação:
Substituindo na equação geral:

Resposta

A equação da curva é

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