Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente u(r, θ) em uma placa circular de raio r = 1 considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
2. u(1, theta) = { theta, 0 < theta < pi; pi - theta, pi < theta < 2 pi }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a temperatura em regime permanente, chamada de , numa placa circular de raio 1. A condição que a gente tem é que na borda dessa placa ( ), a temperatura varia de acordo com o ângulo :
Vamos usar a teoria de Laplace em coordenadas polares para resolver isso. Precisaremos entender um pouco de séries de Fourier e como aplicar as condições de contorno para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, sabemos que pra encontrar a temperatura em regime permanente, devemos resolver a Equação de Laplace em coordenadas polares:
A solução geral dessa equação em uma placa circular pode ser expandida em séries de Fourier, já que a condição no contorno ( ) é uma função periódica em .

Passo 3

A solução geral para pode ser escrita como uma série de Fourier:
Mas, dependendo da simetria do problema, alguns termos podem desaparecer. Observando nossa condição de contorno, vemos que a função é ímpar em relação a , então vamos trabalhar só com termos de seno ou cosseno conforme necessário.

Passo 4

Vamos aplicar a condição na borda ( ):
Para :
Para :
Essa função é contínua e periódica com período , então podemos expandi-la em uma série de Fourier.

Passo 5

Calculando os coeficientes de Fourier e . Como nossa função de contorno é uma função ímpar sobre o intervalo a , os coeficientes de cosseno ( ) serão zero, e usaremos apenas os coeficientes de seno ( ).
A fórmula para é:

Passo 6

Vamos calcular :
Após integrar e simplificar, encontramos que:

Passo 7

Agora, substituímos os coeficientes na série de Fourier:
Como (média da função que é ímpar), temos:

Resposta

A temperatura de regime permanente na placa é dada por:

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