Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
2.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a temperatura em regime permanente, chamada de
, numa placa circular de raio 1. A condição que a gente tem é que na borda dessa placa (
), a temperatura varia de acordo com o ângulo
:
Vamos usar a teoria de Laplace em coordenadas polares para resolver isso. Precisaremos entender um pouco de séries de Fourier e como aplicar as condições de contorno para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, sabemos que pra encontrar a temperatura em regime permanente, devemos resolver a Equação de Laplace em coordenadas polares:
A solução geral dessa equação em uma placa circular pode ser expandida em séries de Fourier, já que a condição no contorno (
) é uma função periódica em
.
Passo 3
A solução geral para
pode ser escrita como uma série de Fourier:
Mas, dependendo da simetria do problema, alguns termos podem desaparecer. Observando nossa condição de contorno, vemos que a função é ímpar em relação a
, então vamos trabalhar só com termos de seno ou cosseno conforme necessário.
Passo 4
Vamos aplicar a condição na borda (
):
Para
:
Para
:
Essa função é contínua e periódica com período
, então podemos expandi-la em uma série de Fourier.
Passo 5
Calculando os coeficientes de Fourier
e
. Como nossa função de contorno é uma função ímpar sobre o intervalo
a
, os coeficientes de cosseno (
) serão zero, e usaremos apenas os coeficientes de seno (
).
A fórmula para
é:
Passo 6
Vamos calcular
:
Após integrar e simplificar, encontramos que:
Passo 7
Agora, substituímos os coeficientes na série de Fourier:
Como
(média da função que é ímpar), temos:
Resposta
A temperatura de regime permanente na placa é dada por: