Encontre o limite. Use a Regra de l lim x 0 tgh xtg x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente sobre limites e a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar saber derivar as funções tangente hiperbólica ( ) e tangente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir tgh,0tg,0 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite:
Obtemos a forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se o limite limx to a f(x)g(x) resulta em ou , então ele pode ser calculado como:
Desde que as derivadas existam e o limite resultante exista.

Passo 4

Vamos então derivar o numerador e o denominador:
  • A derivada de lim x 0 sech^2,xsec^2,x é .
  • A derivada de é .
Assim, o limite fica:

Passo 5

Agora substituímos sech^2,0sec^2,0 = 11 = 1 na nova expressão:
Porque e .

Resposta

O limite é igual a .

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