Considere a equação diferencial x y' - 2 y = 0.
Verifique que as funções
y1(x) = a x² e y2(x) = { a x², x ≥ 0; -a x², x < 0 }
onde a é um número real, são soluções da equação diferencial no intervalo -\infty, +\infty.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo . O objetivo é verificar se as funções e y2(x), que é uma função à parte para x >= 0 e , são soluções dessa equação em todo o intervalo . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções e entender como elas se comportam dentro da equação diferencial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação diferencial. Para isso, a gente precisa encontrar a derivada de y1 em relação a x e substituir na equação.
A derivada de é:
Agora, substituímos y1 e na equação diferencial:
Como a equação resulta em 0, isso confirma que é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

Passo 3

Agora, vamos verificar se y2(x) também é uma solução. A função y2(x) é definida de forma diferente para x >= 0 e para :
Primeiro, vamos considerar o caso quando x >= 0:
A derivada é a mesma que fizemos antes:
Substituindo na equação:
Confirma que está funcionando para x >= 0.
Agora, para :
A derivada é:
Substituindo na equação:
Também dá 0, então funciona para .
Além disso, é importante notar que em x = 0, a função y2(x) é contínua, já que ambos os casos resultam em 0. Portanto, não há descontinuidade que possa causar problemas na solução.

Resposta

Assim, mostramos que tanto quanto y2(x), definida por partes para x >= 0 e , satisfazem a equação diferencial em todo o intervalo . Portanto, ambas as funções são soluções válidas da equação diferencial proposta.

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