Considere a equação diferencial
.
Verifique que as funções
onde
é um número real, são soluções da equação diferencial no intervalo
.
Verifique que as funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. O objetivo é verificar se as funções
e
, que é uma função à parte para
e
, são soluções dessa equação em todo o intervalo
. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções e entender como elas se comportam dentro da equação diferencial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é uma solução da equação diferencial. Para isso, a gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
e substituir na equação.
A derivada de
é:
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
Como a equação resulta em 0, isso confirma que
é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
também é uma solução. A função
é definida de forma diferente para
e para
:
Primeiro, vamos considerar o caso quando
:
A derivada é a mesma que fizemos antes:
Substituindo na equação:
Confirma que está funcionando para
.
Agora, para
:
A derivada é:
Substituindo na equação:
Também dá 0, então funciona para
.
Além disso, é importante notar que em
, a função
é contínua, já que ambos os casos resultam em
. Portanto, não há descontinuidade que possa causar problemas na solução.
Resposta
Assim, mostramos que tanto
quanto
, definida por partes para
e
, satisfazem a equação diferencial
em todo o intervalo
. Portanto, ambas as funções são soluções válidas da equação diferencial proposta.