Uma substância tóxica está sendo liberada no meio-ambiente por uma indústria a uma razão
(partes por milhão por segundo). A indústria analisa duas estações de tratamento que usam processos químicos diferentes. A primeira combina cada molécula da substância com um dado reagente de tal forma que a concentração
da substância varia com o tempo
de acordo com a equação diferencial
onde
. A segunda combina um outro reagentte com cada três moléculas da substância de tal forma que
com
. Qual das duas estações é mais potente no sentido de reduzir mais a concentração final da substância?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma indústria que tá liberando uma substância tóxica no ambiente e quer saber qual das duas estações de tratamento é melhor para reduzir a concentração final dessa substância. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais para descobrir qual estação é mais potente. Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais simples e comparar as concentrações finais resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a Primeira Estação de Tratamento. Ela tem uma equação diferencial que descreve como a concentração
da substância muda com o tempo
:
Aqui,
é a taxa de liberação da substância, e
é a constante que representa a eficiência da estação em remover a substância.
Passo 3
Para encontrar a concentração final, ou seja, o valor de
quando o tempo
vai para o infinito, a gente iguala a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Então, a concentração final na Primeira Estação é de 2 partes por milhão (ppm).
Passo 4
Agora, vamos para a Segunda Estação de Tratamento. A equação diferencial dessa estação é:
Aqui,
é a constante de eficiência dessa estação.
Passo 5
Assim como antes, para encontrar a concentração final, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Então, a concentração final na Segunda Estação é de 3 partes por milhão (ppm).
Resposta
A Primeira Estação de Tratamento é mais potente, reduzindo a concentração final da substância para 2 ppm, enquanto a segunda reduz para 3 ppm.