Uma substância tóxica está sendo liberada no meio-ambiente por uma indústria a uma razão a = 54 ppm / s (partes por milhão por segundo). A indústria analisa duas estações de tratamento que usam processos químicos diferentes. A primeira combina cada molécula da substância com um dado reagente de tal forma que a concentração x(t) da substância varia com o tempo t de acordo com a equação diferencial
d x/d t = a - beta x
onde beta = 27 s^-1. A segunda combina um outro reagentte com cada três moléculas da substância de tal forma que
d x/d t = a - gamma x^3
com gamma = 2 * (p * p * m)^(-2) * s^(-1). Qual das duas estações é mais potente no sentido de reduzir mais a concentração final da substância?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma indústria que tá liberando uma substância tóxica no ambiente e quer saber qual das duas estações de tratamento é melhor para reduzir a concentração final dessa substância. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais para descobrir qual estação é mais potente. Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais simples e comparar as concentrações finais resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a Primeira Estação de Tratamento. Ela tem uma equação diferencial que descreve como a concentração da substância muda com o tempo :
Aqui, é a taxa de liberação da substância, e é a constante que representa a eficiência da estação em remover a substância.

Passo 3

Para encontrar a concentração final, ou seja, o valor de quando o tempo vai para o infinito, a gente iguala a derivada a zero:
Resolvendo para :
Substituindo os valores:
Então, a concentração final na Primeira Estação é de 2 partes por milhão (ppm).

Passo 4

Agora, vamos para a Segunda Estação de Tratamento. A equação diferencial dessa estação é:
Aqui, é a constante de eficiência dessa estação.

Passo 5

Assim como antes, para encontrar a concentração final, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para :
Substituindo os valores:
Então, a concentração final na Segunda Estação é de 3 partes por milhão (ppm).

Resposta

A Primeira Estação de Tratamento é mais potente, reduzindo a concentração final da substância para 2 ppm, enquanto a segunda reduz para 3 ppm.

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