Resolva os problemas de valor inicial:
Resp:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e as condições dadas. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, montamos a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
As raízes são complexas conjugadas, o que nos indica que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.
Passo 4
Com raízes complexas
, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicando a primeira condição inicial
:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, aplicamos a segunda condição inicial
. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: