Resolva os problemas de valor inicial:
y'' + 9y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1 Resp: y(x) = (1 / 3) sen(3 x).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e as condições dadas. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, montamos a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é:

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
As raízes são complexas conjugadas, o que nos indica que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 4

Com raízes complexas , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicando a primeira condição inicial :
Portanto, .

Passo 6

Agora, aplicamos a segunda condição inicial . Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituindo e :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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