Considere a equação diferencial
(a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma
para
um número real fixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma solução da equação diferencial
na forma
, onde
é um número real fixo. Vamos precisar usar o conceito de equações diferenciais lineares e substituir a forma proposta na equação para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma
. Agora, precisamos calcular as derivadas dessa função:
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação:
Como
nunca é zero, podemos igualar a parte dentro dos colchetes a zero:
Passo 5
Essa equação precisa valer para todo
, então os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero separadamente.
O coeficiente de
é:
Isso nos dá duas soluções possíveis para
:
Passo 6
Agora, vamos verificar qual desses valores de
satisfaz o termo constante da equação.
Para
:
Então,
não é uma solução válida.
Para
:
Portanto,
funciona!
Resposta
A solução da equação diferencial na forma
é
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