Considere a equação diferencial
(a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma
para um número real fixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma solução da equação diferencial
na forma , onde é um número real fixo. Vamos precisar usar o conceito de equações diferenciais lineares e substituir a forma proposta na equação para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma . Agora, precisamos calcular as derivadas dessa função:
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial original:

Passo 4

Podemos fatorar da equação:
Como nunca é zero, podemos igualar a parte dentro dos colchetes a zero:

Passo 5

Essa equação precisa valer para todo , então os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero separadamente.
O coeficiente de é:
Isso nos dá duas soluções possíveis para :

Passo 6

Agora, vamos verificar qual desses valores de satisfaz o termo constante da equação.
Para :
Então, não é uma solução válida.
Para :
Portanto, funciona!

Resposta

A solução da equação diferencial na forma é

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