Considere a equação diferencial
(b) Encontre uma solução da equação difenencial que seja uma função de lo grau.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares. Nosso objetivo é encontrar uma solução polinomial para essa equação, ou seja, uma função que seja um polinômio de primeiro grau (uma função linear). Para resolver, vamos precisar lembrar como assumir uma forma para a solução e substituir na equação para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
é uma função de primeiro grau, ou seja:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar. Essa suposição facilita bastante porque as derivadas de
serão simples.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Como
é uma função linear, a segunda derivada é zero.
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Dessa equação, temos que
.
Passo 5
Com
, podemos escrever a solução geral:
Aqui,
é uma constante arbitrária.
Resposta
Uma solução da equação diferencial é:
onde
é uma constante qualquer.
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(a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma
para
um número real fixo.
Resolva os problemas de valor inicial:
(d)
(d)
Considere a equação diferencial
© Encontre a solução geral da equação diferencial.
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d) Enconitre a solução do PVI