Resolva os problemas de valor inicial:
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Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e método de solução por partes: solução homogênea e particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para resolver isso, encontramos a equação característica, que é uma forma algébrica que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial.
Passo 3
A equação característica para a equação homogênea é
. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo do lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Portanto,
. Assim, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Portanto,
.
Para
, primeiro calculamos a derivada da solução geral:
Simplificando:
Para
:
Substituindo
:
Portanto,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Resolva os problemas de valor inicial:
(d)
(d)
Considere a equação diferencial
(a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma
para
um número real fixo.