Resolva os problemas de valor inicial:
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Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e método de solução por partes: solução homogênea e particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para resolver isso, encontramos a equação característica, que é uma forma algébrica que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial.

Passo 3

A equação característica para a equação homogênea é . Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo do lado direito é , tentamos uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Portanto, . Assim, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Portanto, .
Para , primeiro calculamos a derivada da solução geral:
Simplificando:
Para :
Substituindo :
Portanto, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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(d)
Considere a equação diferencial
(a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma
para um número real fixo.