Considere a equação diferencial
© Encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Resumo da Questão e Conceitos Envolvidos
Fala aí! Vamos resolver juntos essa equação diferencial que você enviou:
Esse exercício faz parte do estudo das Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Variáveis. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição e entender um pouco sobre equações de Cauchy-Euler.
Passo 2
Identificando a Estrutura da Equação
Primeiro, vamos observar a equação:
Perceba que os coeficientes de
e
dependem de
. Isso indica que temos uma equação com coeficientes variáveis, mas podemos tentar simplificar fazendo uma substituição para transformar essa equação em algo mais familiar.
Passo 3
Fazendo a Substituição para Simplificar
Vamos fazer a substituição:
Com isso, vamos reescrever as derivadas em termos de
:
Agora, substituindo
na equação original:
Passo 4
Reconhecendo a Equação de Cauchy-Euler
A equação que obtivemos:
tem a forma de uma Equação de Cauchy-Euler padrão, que é:
No nosso caso, ajustando os termos:
Rearranjando:
Passo 5
Assumindo uma Solução do Tipo Potência
Para resolver a equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução da forma:
onde
é um expoente que precisamos determinar. Vamos calcular as derivadas:
Passo 6
Substituindo na Equação e Encontrando o Valor de
Substituímos
,
e
na equação:
Simplificando cada termo:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Agrupando termos semelhantes:
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais a zero:
Portanto, os valores de
são 0 e 2.
Passo 7
Escrevendo a Solução Geral
Com os valores de
, temos duas soluções particulares:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 8
Voltando à Variável Original
Lembrando que fizemos a substituição
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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para
um número real fixo.
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d) Enconitre a solução do PVI
Se a equação indicial (2.12) tem duas raizes complexas,
e
, use a fórmula de Eul para escrever a solução geral complexa em termos das scluçŏes reais, para
,
Mostre que estas soluções são soluçōes fundamentais de (2.11) e portanto
é a solução geral de (2.11), para
.