Considere a equação diferencial
© Encontre a solução geral da equação diferencial.

Passo 1

Resumo da Questão e Conceitos Envolvidos
Fala aí! Vamos resolver juntos essa equação diferencial que você enviou:
Esse exercício faz parte do estudo das Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Variáveis. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição e entender um pouco sobre equações de Cauchy-Euler.

Passo 2

Identificando a Estrutura da Equação
Primeiro, vamos observar a equação:
Perceba que os coeficientes de e dependem de . Isso indica que temos uma equação com coeficientes variáveis, mas podemos tentar simplificar fazendo uma substituição para transformar essa equação em algo mais familiar.

Passo 3

Fazendo a Substituição para Simplificar
Vamos fazer a substituição:
Com isso, vamos reescrever as derivadas em termos de :
Agora, substituindo na equação original:

Passo 4

Reconhecendo a Equação de Cauchy-Euler
A equação que obtivemos:
tem a forma de uma Equação de Cauchy-Euler padrão, que é:
No nosso caso, ajustando os termos:
Rearranjando:

Passo 5

Assumindo uma Solução do Tipo Potência
Para resolver a equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução da forma:
onde é um expoente que precisamos determinar. Vamos calcular as derivadas:

Passo 6

Substituindo na Equação e Encontrando o Valor de
Substituímos , e na equação:
Simplificando cada termo:
Fatorando :
Dividindo ambos os lados por :
Distribuindo :
Agrupando termos semelhantes:
Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais a zero:
Portanto, os valores de são 0 e 2.

Passo 7

Escrevendo a Solução Geral
Com os valores de , temos duas soluções particulares:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 8

Voltando à Variável Original
Lembrando que fizemos a substituição , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Mostre que estas soluções são soluçōes fundamentais de (2.11) e portanto
é a solução geral de (2.11), para .