Resolva os problemas de valor inicial:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar uma solução que atenda essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo :
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma . Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :

Passo 4

Com raízes complexas , a solução da equação homogênea é:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos uma solução particular na forma de polinômio de grau 2:

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:

Passo 7

Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada termo com os do lado direito da equação ( ):
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:

Passo 8

Então, a solu��ão particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :

Passo 11

Agora, derivamos para aplicar a segunda condição:
Usando a regra do produto:
Simplificando em :

Resposta

Substituindo e na solução geral:

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Resolva os problemas de valor inicial:
©
Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
Considere a equação diferencial
(a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma
para um número real fixo.
Considere a equação diferencial
(b) Encontre uma solução da equação difenencial que seja uma função de lo grau.