Resolva os problemas de valor inicial:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar uma solução que atenda essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo
:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
. Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Passo 4
Com raízes complexas
, a solução da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos uma solução particular na forma de polinômio de grau 2:
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Passo 7
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada termo com os do lado direito da equação (
):
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 8
Então, a solu��ão particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Passo 11
Agora, derivamos
para aplicar a segunda condição:
Usando a regra do produto:
Simplificando em
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial:
©
©
Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Considere a equação diferencial
(a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma
para
um número real fixo.
Considere a equação diferencial
(b) Encontre uma solução da equação difenencial que seja uma função de lo grau.