Inverter a ordem de integração.
b) integral1^2 integral0^x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que inverter a ordem de integração da integral . A matéria aqui é cálculo de integrais duplas, mais especificamente sobre como mudar a ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e como eles se relacionam no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 1 a 2. Para cada , varia de 0 até . Então, a região está entre as linhas , , e .

Passo 3

Para inverter a ordem, queremos integrar primeiro em e depois em . Precisamos determinar para cada quais são os limites de . Observando a região:
  • O menor valor de é 0 e o maior é 2 (quando ).
  • Para entre 0 e 1, varia de 1 até 2.
  • Para entre 1 e 2, varia de até 2.

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral com os limites invertidos. Dividimos em duas partes, pois a expressão dos limites de integral0^1 integral1^2 f(x, y) , dx , dy + integral1^2 integraly^2 f(x, y) , dx , dy depende do intervalo de :

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^1 integral1^2 f(x, y) , dx , dy + integral1^2 integraly^2 f(x, y) , dx , dy

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