Inverter a ordem de integração.
b)
b)
Passo 1
Beleza! A gente tem que inverter a ordem de integração da integral
. A matéria aqui é cálculo de integrais duplas, mais especificamente sobre como mudar a ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e como eles se relacionam no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 1 a 2. Para cada
,
varia de 0 até
. Então, a região está entre as linhas
,
,
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, queremos integrar primeiro em
e depois em
. Precisamos determinar para cada
quais são os limites de
. Observando a região:
- O menor valor de
é 0 e o maior é 2 (quando ). - Para
entre 0 e 1, varia de 1 até 2. - Para
entre 1 e 2, varia de até 2.
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral com os limites invertidos. Dividimos em duas partes, pois a expressão dos limites de
depende do intervalo de
:
Resposta
A ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
(l)
Se as funções
e
formarem um conjunto fundamental de soluções de
, mostre que entre dois zeros consecutivos de
existe um, e apenas um, zero de
. Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções
e
da equação
. Sugestão: Suponha que
e
são dois zeros de
entre os quais não existe zero de
. Aplique o teorema de Rolle a
para chegar a uma contradição.
®
Considere a equação diferencial
em que
e a equação característica tem raízes complexas
. Substitua
pelas funções
na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.