Inverter a ordem de integração.
b)

Passo 1

Beleza! A gente tem que inverter a ordem de integração da integral . A matéria aqui é cálculo de integrais duplas, mais especificamente sobre como mudar a ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e como eles se relacionam no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 1 a 2. Para cada , varia de 0 até . Então, a região está entre as linhas , , e .

Passo 3

Para inverter a ordem, queremos integrar primeiro em e depois em . Precisamos determinar para cada quais são os limites de . Observando a região:
  • O menor valor de é 0 e o maior é 2 (quando ).
  • Para entre 0 e 1, varia de 1 até 2.
  • Para entre 1 e 2, varia de até 2.

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral com os limites invertidos. Dividimos em duas partes, pois a expressão dos limites de depende do intervalo de :

Resposta

A ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

(l)
Se as funções e formarem um conjunto fundamental de soluções de , mostre que entre dois zeros consecutivos de existe um, e apenas um, zero de . Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções e da equação . Sugestão: Suponha que e são dois zeros de entre os quais não existe zero de . Aplique o teorema de Rolle a para chegar a uma contradição.
®
Considere a equação diferencial
em que e a equação característica tem raízes complexas . Substitua pelas funções
na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.