Inverter a ordem de integração.
b)
b)
Passo 1
Beleza! A gente tem que inverter a ordem de integração da integral
. A matéria aqui é cálculo de integrais duplas, mais especificamente sobre como mudar a ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e como eles se relacionam no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 1 a 2. Para cada
,
varia de 0 até
. Então, a região está entre as linhas
,
,
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, queremos integrar primeiro em
e depois em
. Precisamos determinar para cada
quais são os limites de
. Observando a região:
- O menor valor de
é 0 e o maior é 2 (quando ). - Para
entre 0 e 1, varia de 1 até 2. - Para
entre 1 e 2, varia de até 2.
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral com os limites invertidos. Dividimos em duas partes, pois a expressão dos limites de
depende do intervalo de
:
Resposta
A ordem de integração invertida é: