Sejam A, B e C constantes reais. Determine a EDO linear homogênea, com coeficientes constantes e de ordem três, cuja solução geral é
y = C + e^(-2 x) (A cos x + B sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. A solução geral fornecida é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs características e como elas se relacionam com as soluções dadas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a EDO associada a uma solução geral, precisamos identificar as raízes da equação característica. A equação característica está ligada à forma da solução fornecida.

Passo 3

Observando a solução:
Podemos ver duas partes distintas:
  1. : Isso indica uma solução constante, associada a uma raiz real da equação característica.
  2. : Essa parte envolve exponenciais e funções trigonométricas, o que sugere raízes complexas da forma C.

Passo 4

Sabendo disso, a equação característica terá três raízes:
  • Uma raiz real: (porque C é uma constante).
  • Duas raízes complexas conjugadas: e .

Passo 5

Agora, vamos construir a equação característica usando essas raízes. A equação característica é formada por fatores para cada raiz .
Então, teremos:
Simplificando:

Passo 6

Vamos multiplicar os dois últimos fatores primeiro:
Então, a equação característica fica:
Desenvolvendo:

Passo 7

Portanto, a EDO associada é:
Aqui, representa a terceira derivada de y em relação a x, a segunda, e a primeira.

Resposta

A Equação Diferencial Ordinária linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes é:

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