Sejam e constantes reais. Determine a EDO linear homogênea, com coeficientes constantes e de ordem três, cuja solução geral é

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. A solução geral fornecida é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs características e como elas se relacionam com as soluções dadas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a EDO associada a uma solução geral, precisamos identificar as raízes da equação característica. A equação característica está ligada à forma da solução fornecida.

Passo 3

Observando a solução:
Podemos ver duas partes distintas:
  1. : Isso indica uma solução constante, associada a uma raiz real da equação característica.
  2. : Essa parte envolve exponenciais e funções trigonométricas, o que sugere raízes complexas da forma .

Passo 4

Sabendo disso, a equação característica terá três raízes:
  • Uma raiz real: (porque é uma constante).
  • Duas raízes complexas conjugadas: e .

Passo 5

Agora, vamos construir a equação característica usando essas raízes. A equação característica é formada por fatores para cada raiz .
Então, teremos:
Simplificando:

Passo 6

Vamos multiplicar os dois últimos fatores primeiro:
Então, a equação característica fica:
Desenvolvendo:

Passo 7

Portanto, a EDO associada é:
Aqui, representa a terceira derivada de em relação a , a segunda, e a primeira.

Resposta

A Equação Diferencial Ordinária linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes é:

Exercícios relacionados

Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
c) .
Resolver as seguintes equações diferenciais:
a) .
Resolva os seguintes problemas.
c) Um circuito em série consiste em um resistor com resistência , um indutor com indutância , um capacitor com capacitância e uma bateria de volts. Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0 , encontre a carga e a corrente no instante quando volts. O que acontece quando ? Explique.
Considere a equação diferencial
O método de redução de ordem consiste em conhecida uma solução particular da EDO fornecida, encontrar uma solução particular , a partir de , que seja linearmente independente de . Ou seja, determinar uma função não constante tal que seja solução da equação dada. Mostre que ao utilizarmos esse método para resolver a partir da sua conhecida solução particular , encontraremos outra solução da forma:
Verifique que forma um conjunto linearmente independente de funções em todo intervalo em que . Use a fórmula ( ) para encontrar uma solução da equação dado que é uma das suas soluções particulares em .