Sejam
e
constantes reais. Determine a EDO linear homogênea, com coeficientes constantes e de ordem três, cuja solução geral é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. A solução geral fornecida é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs características e como elas se relacionam com as soluções dadas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a EDO associada a uma solução geral, precisamos identificar as raízes da equação característica. A equação característica está ligada à forma da solução fornecida.
Passo 3
Observando a solução:
Podemos ver duas partes distintas:
-
: Isso indica uma solução constante, associada a uma raiz real da equação característica. - : Essa parte envolve exponenciais e funções trigonométricas, o que sugere raízes complexas da forma
.
Passo 4
Sabendo disso, a equação característica terá três raízes:
- Uma raiz real:
(porque é uma constante). - Duas raízes complexas conjugadas:
e .
Passo 5
Agora, vamos construir a equação característica usando essas raízes. A equação característica é formada por fatores
para cada raiz
.
Então, teremos:
Simplificando:
Passo 6
Vamos multiplicar os dois últimos fatores primeiro:
Então, a equação característica fica:
Desenvolvendo:
Passo 7
Portanto, a EDO associada é:
Aqui,
representa a terceira derivada de
em relação a
,
a segunda, e
a primeira.
Resposta
A Equação Diferencial Ordinária linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes é: