Resolva os seguintes problemas.
c) Um circuito em série consiste em um resistor com resistência , um indutor com indutância , um capacitor com capacitância e uma bateria de volts. Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0 , encontre a carga e a corrente no instante quando volts. O que acontece quando ? Explique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito elétrico em série que tem um resistor de 20 Ω, um indutor de 1 H, um capacitor de 0,002 F e uma bateria com tensão . Precisamos encontrar a carga e a corrente no instante quando volts, considerando que inicialmente a carga e a corrente eram zero. Depois, vamos ver o que acontece com a carga e a corrente quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos RLC e equações diferenciais que descrevem o comportamento desses componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece em um circuito RLC em série. Nesse tipo de circuito, a tensão da fonte é dividida entre o resistor, o indutor e o capacitor. A relação entre essas tensões pode ser descrita pela seguinte equação diferencial:
Onde:
é a tensão no resistor,
é a tensão no indutor,
é a tensão no capacitor.
Passo 3
Sabemos que volts nesse instante específico. Então, substituindo na equação:
Além disso, sabemos que a corrente está relacionada à carga pela derivada:
Passo 4
Vamos substituir na equação principal:
Isso nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
Passo 5
Vamos organizar os valores que temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea () e da solução particular ().
Passo 7
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Assumimos uma solução do tipo , substituindo na equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 8
Com raízes complexas, a solução homogênea é:
Onde e são constantes que determinamos com as condições iniciais.
Passo 9
Agora, encontramos a solução particular. Como o lado direito da equação diferencial é uma constante (12), tentamos uma solução particular também constante:
Substituindo na equação:
Passo 10
Então, a solução geral é:
Agora, aplicamos as condições iniciais. Sabemos que inicialmente e .
Passo 11
Aplicando :
Passo 12
Agora, encontramos a derivada da carga para obter a corrente:
Derivando a solução geral:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Aplicando a condição inicial :
Passo 13
Agora temos todas as constantes, então a solução para a carga é:
E a corrente é:
Passo 14
Finalmente, para , observe que os termos que contêm tendem a zero, pois diminui exponencialmente. Portanto:
Isso significa que, a longo prazo, a carga no capacitor estabiliza em 0,024 C e a corrente no circuito cai para zero.
Resposta
No instante , a carga é coulombs e a corrente é amperes. Quando , a carga estabiliza em 0,024 C e a corrente tende a zero.