Resolva os seguintes problemas.
c) Um circuito em série consiste em um resistor com resistência 20 Omega, um indutor com indutância L = 1 H, um capacitor com capacitância 0,002 F e uma bateria de E(t) volts. Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0 , encontre a carga e a corrente no instante t quando E(t) = 12 volts. O que acontece quando t -> infinito ? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito elétrico em série que tem um resistor de 20 Ω, um indutor de 1 H, um capacitor de 0,002 F e uma bateria com tensão . Precisamos encontrar a carga e a corrente no instante quando volts, considerando que inicialmente a carga e a corrente eram zero. Depois, vamos ver o que acontece com a carga e a corrente quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos RLC e equações diferenciais que descrevem o comportamento desses componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece em um circuito RLC em série. Nesse tipo de circuito, a tensão da fonte é dividida entre o resistor, o indutor e o capacitor. A relação entre essas tensões pode ser descrita pela seguinte equação diferencial:
Onde:
  • é a tensão no resistor,
  • é a tensão no indutor,
  • é a tensão no capacitor.

Passo 3

Sabemos que volts nesse instante específico. Então, substituindo na equação:
Além disso, sabemos que a corrente está relacionada à carga pela derivada:

Passo 4

Vamos substituir na equação principal:
Isso nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:

Passo 5

Vamos organizar os valores que temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea ( ) e da solução particular ( ).

Passo 7

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Assumimos uma solução do tipo , substituindo na equação:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 8

Com raízes complexas, a solução homogênea é:
Onde e são constantes que determinamos com as condições iniciais.

Passo 9

Agora, encontramos a solução particular. Como o lado direito da equação diferencial é uma constante (12), tentamos uma solução particular também constante:
Substituindo na equação:

Passo 10

Então, a solução geral é:
Agora, aplicamos as condições iniciais. Sabemos que inicialmente e .

Passo 11

Aplicando :

Passo 12

Agora, encontramos a derivada da carga para obter a corrente:
Derivando a solução geral:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Aplicando a condição inicial :

Passo 13

Agora temos todas as constantes, então a solução para a carga é:
E a corrente é:

Passo 14

Finalmente, para , observe que os termos que contêm tendem a zero, pois diminui exponencialmente. Portanto:
Isso significa que, a longo prazo, a carga no capacitor estabiliza em 0,024 C e a corrente no circuito cai para zero.

Resposta

No instante , a carga é coulombs e a corrente é amperes. Quando , a carga estabiliza em 0,024 C e a corrente tende a zero.

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